《等比数列的前n项和公式》教案

安徽省凤台县职业教育中心

刘冬梅

教学目标

知识目标：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题。

能力目标：以数学故事为切入点，通过数据计算、公式的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法。

情感目标：通过数学故事、趣味数学问题，激发学生的学习兴趣，鼓励学生大胆尝试、勤于思考、敢于创新品质，从中获得成功的体验。

教学重点和难点

重点：等比数列的前项和公式的推导及其简单应用

难点：等比数列的前项和公式的推导．

教学方法

利用多媒体等辅助教学，采用启发和探究-建构教学相结合的教学模式。

教学过程

1.创设情境，提出问题

话说灰太狼为研究新型捕羊设备，急需大量资金，于是就找喜羊羊帮忙。 喜羊羊爽快地说 ：“行！我每天投资10万元，连续一个月（30天），但是有一个条件是：作为回报，从投资的第一天起你必须返还给我1元，第二天返还2元，第三天返还4元……即后一天返还数为前一天的2倍．”

“第一天：支出1元，收入10万；第二天：支出2元，收入10万，第三天：支出4元，收入10万元；……哇，发财了……”灰太狼心里越想越美……再看看喜羊羊的表情，心里又嘀咕了：“这小羊老是欺骗我，会不会又在耍我？

请你帮灰太狼分析一下，按照喜羊羊的投资方式，30天后，能吸纳多少投资？又该返还给喜洋洋多少钱？

灰太狼吸纳的投资：10+10+10+…+10=30×10=300（万元）

灰太狼返给喜羊羊的钱：?

如何求？(带着这样的问题，学生会动手算了起来，他们想到用计算器依次算出各项的值，然后再求和。这时我对他们的这种思路给予肯定。)

2.师生互动，探究问题

在肯定他们的思路后，我接着问：1，2，2²，…，2²⁹是什么数列？有何特征？应归结为什么数学问题呢？

探讨1：  ，记为（1）式，注意观察每一项的特征，有何联系？（学生易发现，后一项都是前一项的2倍）

探讨2：如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，（1）式两边同乘以2则有    ，记为（2）式。比较（1）(2）两式，你有什么发现？

        (1)

    （2）

经过比较、研究，学生发现：（1）、（2）两式有许多相同的项，把两式相减，相同的项就消去了，得到：  (元) 。老师指出：这就是错位相减法，并要求学生纵观全过程，反思：为什么（1）式两边要同乘以2呢？

3.类比联想，解决问题

这时我再顺势引导学生将结论一般化，

这里让学生分组讨论、尝试自主完成，并请一名学生上黑板板演，然后对个别学生进行指导。

学生推导完成后，对学生推导过程进行纠正与讲解。（注意引导学生对q进行分类讨论）

然后带着同学再回头整理一下等比数列前n项和的公式的推导过程。

等比数列的前n项和为

              (1)

由于故将(1)式的两边同时乘以q，得

           (2)

 用(1)式的两边分别减去(2)式的两边，得

     (3)

当时，由(3)式得等到数列的前项和公式

                          （6.7）

知道了等比数列中的、n和，利用公式（6.7）可以直接计算。

由于

因此公式（6.7）还可以写成

                     (6.8)

当时，等比数列的各项都相等，此时它的前项和为  ．                           (6.9)

【注意】 在求等比数列的前n项和时，一定要判断公比q是否为１。 

4.巩固知识 典型例题

例5  写出等比数列的前n项和公式并求出数列的前8项的和。

解  因为，所以等比数列的前n项和公式为         ，

故            ．

例6  一个等比数列的首项为，末项为，各项的和为，求数列的公比并判断数列是由几项组成？

解  设该数列由n项组成，其公比为q，则，，，

于是    

即  ，

解得          

所以数列的通项公式为  

于是    ，

即      

解得          

故数列的公比为，该数列共有5项．

【注意】 例6中求项数n时，将等号两边化成同底数幂的形式，利用指数相等来求解．这种方法是研究等比数列问题的常用方法．

5.运用知识 强化练习

练习6.3.3

1．求等比数列，，，，…的前10项的和．

2．已知等比数列｛｝的公比为2，＝１，求．

6.归纳小结 强化思想

本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？

7.继续探索 活动探究

(1)读书部分：教材15-17页

(2)书面作业：教材习题6．3A组（必做）；教材习题6．3B组（选做）。

(3)实践调查：运用等比数列求和公式解决现实生活中的实际问题。