2.2.3　直线与平面平行的性质

~2.2.4　平面与平面平行的性质

【知识导图】

【学法指导】

学习本节知识的过程中，一方面要把握好性质定理的条件(切不可漏掉某个条件)和结论，根据结论来找条件；另一方面要熟练掌握平行关系的转化，根据题目的条件和结论，巧妙地实现线线平行、线面平行和面面平行之间的相互转化．

【自主预习】

知识点一　直线与平面平行的性质

定理中有三个条件：①直线a和平面α平行，即a∥α；②直线a在平面β内，即a ⊂β；③平面α，β相交，即α∩β＝b . 三个条件缺一不可．

知识点二　平面与平面平行的性质

1．已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线．

2．该定理提供了证明线线平行的另一种方法，应用时要紧扣与两个平行平面都相交的第三个平面．

【基础自测】

1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若直线a∥平面α，直线a∥直线b，则直线b∥平面α.(　　)

(2)若直线a∥平面α，则直线a与平面α内任意一条直线都无公共点．(　　)

(3)若α∥β，则平面α内有无数条互相平行的直线平行于平面β.(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)√

2．平面α与△ABC的两边AB，AC分别交于点D，E，且AD︰DB＝AE︰EC，如图，则BC与α的位置关系是(　　)

A. 平行     B. 相交       

C. 平行或相交     D. 异面

解析：因为AD∶DB＝AE∶EC，所以DE∥BC，又DE⊂α，BC⊄α，所以BC∥α.

答案：A

3．过平面外一条直线作已知平面的平行平面(　　)

A．必定可以并且可以作一个　 B．至少可以作一个

C．至多可以作一个   D．一定不能作

解析：直线与平面相交时，平行的平面不存在；直线与平面平行时，平行的平面唯一．

答案：C

4．如图，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α，则CD与EF的位置关系为________．

解析：由线面平行的性质得，AB∥CD，AB∥EF，由公理4得CD∥EF.

答案：平行

【课堂探究】

类型一　线面平行的性质定理的应用

例1　如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E是PC的中点，在DE上任取一点F，过点F和AP作平面PAGF交平面BDE于FG，求证：AP∥GF.

【证明】　如图所示，连接AC交BD于点O，连接OE，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴点O是AC的中点，

又E是PC的中点，∴AP∥OE.

∵AP⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，

∴AP⊂面PAGF，AP∥平面BDE.

∵平面PAGF∩平面BDE＝GF，∴AP∥GF.

方法归纳

(1)直线与平面平行的性质定理作为线线平行的依据，可以用来证明线线平行．

(2)运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行．证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系．简记为“过直线，作平面，得交线，得平行”．

跟踪训练1　如图所示，已知两条异面直线AB与CD，平面MNPQ与AB，CD都平行，且点M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上，求证：四边形MNPQ是平行四边形．

证明：∵AB∥平面MNPQ，且过AB的平面ABC交平面MNPQ于MN，

∴AB∥MN.

又过AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ，

∴AB∥PQ，∴MN∥PQ.同理可证NP∥MQ.

∴四边形MNPQ为平行四边形．

类型二　面面平行性质定理的应用

例2　如图所示，已知三棱柱ABC－A′B′C′中，D是BC的中点，D′是B′C′的中点，设平面A′D′B∩平面ABC＝a，平面ADC′∩平面A′B′C′＝b，判断直线a，b的位置关系，并证明．

【解】　直线a，b的位置关系是平行．

如图所示，连接DD′.

∵平面ABC∥平面A′B′C′，平面A′D′B∩平面ABC＝a，平面A′D′B∩平面A′B′C′＝A′D′，

∴A′D′∥a，同理可证AD∥b.

又D是BC的中点，D′是B′C′的中点，∴DD′BB′，又BB′AA′，∴DD′AA′，

∴四边形AA′D′D为平行四边形，∴A′D′∥AD，∴a∥b.

方法归纳

面面平行性质定理的两个主要应用

(1)证明线线平行：利用面面平行的性质定理推出线线平行．

(2)判断线面平行：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．

跟踪训练2　如图，在四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A₁DCE与B₁B交于点E.求证：EC∥A₁D.

证明：因为BE∥AA₁，AA₁⊂平面AA₁D，BE⊄平面AA₁D，

所以BE∥平面AA₁D.

因为BC∥AD，AD⊂平面AA₁D，BC⊄平面AA₁D，

所以BC∥平面AA₁D.

因为BE∩BC＝B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，

所以平面BCE∥平面AA₁D.

又因为平面A₁DCE∩平面BCE＝EC，平面A₁DCE∩平面AA₁D＝A₁D，

所以EC∥A₁D.

类型三　平行关系的综合应用

例3　如图，在棱长为a的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E，F，P，Q分别是BC，C₁D₁，AD₁，BD的中点．

(1)求证：PQ∥平面DCC₁D₁；

(2)求PQ的长；

(3)求证：EF∥平面BB₁D₁D.

【解】　(1)法一　如图，连接AC，CD₁.

因为P，Q分别是AD₁，AC的中点，所以PQ∥CD₁.

又PQ⊄平面DCC₁D₁，CD₁⊂平面DCC₁D₁，

所以PQ∥平面DCC₁D₁.

法二　取AD的中点G，连接PG，GQ，

则有PG∥DD₁，PG⊄平面DCC₁D₁，DD₁⊂平面DCC₁D₁，

所以PG∥平面DCC₁D₁，同理GQ∥平面DCC₁D₁，

又PG∩GQ＝G，PG⊂平面DCC₁D₁，GQ⊂平面DCC₁D₁，

所以平面PGQ∥平面DCC₁D₁.

又PQ⊂平面PGQ，所以PQ∥平面DCC₁D₁.

(2)由(1)易知PQ＝21D₁C＝22a.

(3)法一　取B₁D₁的中点O₁，

连接FO₁，BO₁，则有FO₁21B₁C₁.

又BE21B₁C₁，所以BEFO₁.

所以四边形BEFO₁为平行四边形，所以EF∥BO₁，

又EF⊄平面BB₁D₁D，BO₁⊂平面BB₁D₁D，

所以EF∥平面BB₁D₁D.

法二　取B₁C₁的中点E₁，连接EE₁，FE₁，

则有FE₁∥B₁D₁，FE₁⊄平面BB₁D₁D，B₁D₁⊂平面BB₁D₁D，

所以PE₁∥平面BB₁D₁D，同理EE₁∥平面BB₁D₁D，

又FE₁∩EE₁＝E₁，所以平面EE₁F∥平面BB₁D₁D.

又EF⊂平面EE₁F，所以EF∥平面BB₁D₁D.

方法归纳

(1)证明线面平行的方法有“线线平行⇒线面平行”或“线线平行⇒线面平行⇒面面平行⇒线面平行”．

(2)常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系相互联系、相互转化．

跟踪训练3　如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且PA＝3.F在棱PA上，且AF＝1，E在棱PD上．若CE∥平面BDF，求PEED的值．

解：过点E作EG∥FD交AP于点G，连接CG，连接AC交BD于点O，连接FO.

因为EG∥FD，EG⊄平面BDF，FD⊂平面BDF，所以EG∥平面BDF，

又CE∥平面BDF，EG∩CE＝E，EG⊂平面CGE，CE⊂平面CGE，所以平面CGE∥平面BDF，

又CG⊂平面CGE，所以CG∥平面BDF，

又CG⊂平面PAC，平面BDF∩平面PAC＝ FO，

所以FO∥CG.又O为AC中点，

所以F为AG中点，所以FG＝GP＝1，

所以E为PD中点，PE：ED＝1：1.