高中数学必修5 §1.1《正弦定理》教学设计

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一、 教材分析

《正弦定理》是人教版教材必修五第一章《解三角形》第一节的主要内容。它是初中“解直角三角形”内容的直接延拓，也是“三角函数”和“平面向量”等知识在三角形中的具体运用，还是后续课程中解三角形的理论依据，是解决实际生活中许多测量问题的工具。因此熟练掌握正弦定理能为接下来学习解三角形打下坚实基础，并能在实际应用中灵活变通。本节课是“正弦定理”教学的第一课时，其主要任务是引入证明并正确应用正弦定理，在课型上属于“定理教学课”。因此，做好“正弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且通过对定理的探究，能使学生体验到数学发现和创造的历程，进而培养学生提出问题、解决问题等研究性学习的能力。

二、 学情分析

因为授课班级是高一学生，只是在初中学习过解直角三角形的内容，还没有学过必修4中三角函数的基础知识和平面向量的有关内容。《课程标准》强调在教学中要重视定理的探究过程，并能运用它解决一些实际问题，可以使学生进一步了解数学在实际中的应用，从而激发学生学习数学的兴趣，也为学习正弦定理提供一种亲和力与认同感。因为没有三角函数、平面向量等知识的支撑，所以在定理的探究证明和应用这个环节会有很大的影响，所以本节课主要探究和证明正弦定理，只能进行简单的应用。

三、 设计思想

培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢？建构主义认为：“知识不是被动吸收的，而是由认知主体主动建构的。”这个观点从教学的角度来理解就是：知识不是通过教师传授得到的，而是学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人（指导教师和学习伙伴）协作，主动建构而获得的，建构主义教学模式强调以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。这也是郭思乐教授的“生本”教育理念，本节“正弦定理”的教学，将遵循这个原则而进行设计。

四、教学目标

知识目标：理解并掌握正弦定理的证明，运用正弦定理解三角形。

能力目标：探索正弦定理的证明过程，用归纳法得出结论，并了解多种证明方法。

情感目标：通过推导得出正弦定理，让学生感受数学公式的整洁对称美和数学的实际应用价值。

五、教学重难点

教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及基本应用。

教学难点：正弦定理的探索及证明，已知两边和其中一边的对角时判断解的个数。

六、教具：多媒体等。

七、教学过程

【结合实例提出问题】

某通信公司拟通过某一河流修建水下电缆，需测量河两岸点A与点B之间的距离，假设工人只有卷尺和量角器，那么如何在河的一侧得出两岸A与B之间的距离？

【观察特例提出猜想】

1、在Rt△ABC中，各边、角之间存在何种数量关系？

2、学生容易想到三角函数式子：（可能还有余弦、正切的式子）

3、这三个式子中都含有哪个边长？学生马上看到，是c边，因为

4、那么通过这三个式子，边长c有几种表示方法？

5、得到的这个等式，说明了在Rt△中，各边、角之间存在什么关系？

（各边和它所对角的正弦的比相等）

6、此关系式能不能推广到任意三角形？

猜想：在任意的△ABC中, 各边和它所对角的正弦的比相等, 即：

  用几何画板演示并证明猜想。

【证明猜想得出定理】

法一：三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，对于直角三角形，我们前面已经推导出这个关系式是成立的，当三角形为锐角三角形时

高，即

变形为

同理可得，。

即。

自主探究一：若△ABC为钝角三角形，证明：。

自主探究二：法二（外接圆法）：

R为△ABC外接圆半径

如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ，

∴。

同理2R =＝。

可将正弦定理推广为：== =2R

    用几何画板演示并证明。

1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

____________________。

2、一般地，把三角形的三个角和对边叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。

【运用定理解决问题】

1、例题分析

类型一   已知两角及一边解三角形

例1.（问题1） 在中，已知，求边。

变式：在中，已知，求边。

类型二   已知两边及一边的对角解三角形

例2. 在中，，解三角形。

2、正弦定理及变形

①

②

③边化角：

④角化边：

3、课堂练习

1、在中，，则角。

2、在中， ，求。

3、在中，，角_______。

4、在中， ，试判断三角形的形状。

4、课堂小结

(1)在这节课中，学习了哪些知识？

①正弦定理及其发现和证明  

②正弦定理的初步应用

(2)包含了哪些数学思想和数学方法？

①运用从特殊到一般，一般到特殊的转化思想

②运用方程的思想

③运用“观察、猜想、实验、证明”解决问题的方法

八、 课后作业

1. 正弦定理适用的范围是                                                  （　　）

Ａ．直角三角形  Ｂ．锐角三角形  Ｃ．钝角三角形  Ｄ．任意三角形

2. 已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4，则a∶b∶c等于                     （    ）.

　A．1∶1∶4         B．1∶1∶2　        C．1∶1∶       D．2∶2∶

3. 在△ABC中，若，则与的大小关系为                  （    ）.

A.        B.       C. ≥       D. 、的大小关系不能确定

4. 在△ABC中，，，，则的值为              （    ）

A         B       C  10           D  

5．在中，已知，，，那么这个三角形是        （  　）

Ａ．等边三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．等腰三角形 Ｄ．等腰三角形或直角三角形

6． 根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是                         （     ）

 A、，有两解 B、，有一解

 C、，无解  D、，有一解

7. 中，若，则=________。  

8. 在△ABC中，已知，，，则= ________。

9. 在中，A=60°，，则角B等于________。

10. 在中，，解三角形。

九、课后反思

由于授课班级是高一文科，女生比较多，又是开学刚刚重新分的班，所以班级气氛比较安静不够活跃，而且没有必修4三角函数内容的基础铺垫，特殊角度的正弦值又不熟悉，所以有一部分同学理解起来比较吃力，在应用时也不够灵活，总是想用初中的办法来解决问题，回避新学的定理，所以还应该再增加一节习题课来巩固定理。但是在定理的探讨证明环节，邓泽博同学的思路清晰、讲解清楚，也代表了一部分具备自主探索实力的同学。所以个人感觉这节课对高一的学生来说是成功的，通过这节生本探讨课，培养了学生的能力，发现了学生的潜质，教学效果比填鸭式教学更好，值得我在以后的教学中应用并改进。

十、板书设计