什么是向量

【教学目标】

1．理解向量的概念，掌握向量的几何表示；

2．了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并会辨认图形中的相等向量或出与某一已知向量相等的向量；

3．了解平行向量的概念．

【教学重点】

向量概念、相等向量概念、向量几何表示

【教学难点】

向量概念的理解

【教学过程】

一、复习引入

在线段AB的两个端点中，我们规定了一个顺序，A为起点，B为终点，我们就说线段AB具有射线AB的方向，具有方向的线段就叫做有向线段．通常有向线段的终点要画箭头表示它的方向，以A为起点，以B为终点的有向线段记为，需要注意的是：的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个要素：起点、方向、长度．

在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等．还有一些量，如我们在物理中所学习的位移，是一个既有大小又有方向的量，这种量就是我们本章所要研究的向量．

二、讲解新课

1．向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量

注意：数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。

2．向量的表示方法：

①用有向线段表示；            

②用字母ａ、ｂ等表示；

③用有向线段的起点与终点字母：；

④向量的大小――长度称为向量的模，记作||．

3．零向量、单位向量概念：

①长度为0的向量叫零向量，记作。的方向是任意的。

注意与0的区别。

②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量．

说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向．

4．平行向量定义：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；

②我们规定0与任一向量平行．

说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；

（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ．

5．相等向量定义：

长度相等且方向相同的向量叫相等向量．

说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；

（2）零向量与零向量相等；

（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．

6．共线向量与平行向量关系：

平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上．

探究：1．向量不能比较大小

我们知道，长度相等且方向相同的两个向量表示相等向量，但是两个向量之间只有相等关系，没有大小之分，“对于向量ａ，ｂ，ａ＞ｂ，或ａ＜ｂ”这种说法是错误的．

2．向量与有向线段的区别：

（1）向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；

（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段

三、讲解范例：

例1判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．

①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；

②单位向量都相等；

③任一向量与它的相反向量不相等；

④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是;

⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；

⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．

例2下列命题正确的是（  ）

A．ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线

B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点

C．向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量

D．有相同起点的两个非零向量不平行

例3图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中

（1）与向量、、共线的向量；

（2）与向量、、相等的向量．

四、课堂练习

1．平行向量是否一定方向相同？

2．不相等的向量是否一定不平行？

3．与零向量相等的向量必定是什么向量？

4．与任意向量都平行的向量是什么向量？

5．若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？

6．两个非零向量相等的充要条件是什么？

7．共线向量一定在同一直线上吗？

五、小结

向量及向量的有关概念、表示方法，还知道有两个特殊向量，最后学了向量间的两种关系，即平行向量（共线向量）和相等向量。