一、创设情景   引入新课

1．    函数的概念？

2．    请回答下列问题：问题1：

提出问题

回顾旧知

学生回答

教师展示

复习函数的概念

结论：这函数中，每一对这样的两个函数之间都存在着必然的联系：

①              它们的对应法则是互逆的；

②      它们的定义域和值域相反：即前者的值域是后者的定义域，而前者的定义域是后者的值域.

我们称这样的每一对函数为“互为反函数”. 那么什么是反函数呢？

学生思考

 学生回答

从函数三要素方面回答

师生共同分析，总结。

x是 y的函数，这对学生来说是陌生的。

分析两个函数关系揭示反函数本质特征。

教        学      内       容

师生活动

教学意图

二．启发诱导    归纳总结

一．反函数的概念

1.定义：一般地，设函数的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y把x表示出，得到x=(y)。 若对于y在C中的任何一个值，通过x=(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=(y) ()，叫做函数的反函数，记作.

在函数中，y是自变量，x表示函数。但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y表示函数，为此我们常常对调中字母x，y，把它改写成。

2．正确理解反函数

（1）什么样的两个函数才是反函数？

       对应法则恰好相反，定义域和值域恰好互换（对调）。

（2）的反函数是谁？注意符号含义及读法？

应该是.它们互为反函数，事实上反函数是相互的。

（3）反函数也是函数，函数本质上是映射。那么在映射观点下，反函数是什么？

[从映射的定义可知，函数是定义域A到值域C的映射，而它的反函数是集合C到集合A的映射，]

因此，函数的定义域正好是它的反函数的值域；函数的值域正好是它的反函数的定义域（如下表）：

（4）反函数定义给出了反函数的求法。

教       学      内        容

学生在老师的启发诱导下通过观察、对比探索尝试抽象出反函数的定义

老师板书

媒体显示

提出问题

师生探索

学生填表

师生活动

培养学生探索问题归纳总结问题的能力

加深理解领会实质

再次明确关系

教学意图

二．求反函数

例1．（课本第62页 例1）求下列函数的反函数：

①； ②；

③  ④.

解：①由解得

∴函数的反函数是。

②由解得x=,

∴函数的反函数是

【归纳总结】：求反函数的一般步骤。

 一求值域：求原函数的值域

二反解：由原方程得

 三对换：对换x，y得，并注明定义域。

 再解例1③④：

解：③∵x≥0，∴原函数的值域y≥1.

由y=+1解得x=(y-1)²,

∴函数的反函数是y=(x-1)² (x≥1);

④∵x≠1 ∴=2+≠2，解得 。∴函数的反函数是

           教      学      内      容

展示例题

学生回答

尝试归纳注重总结

师生同做

老师板书

规范步骤

学生板演

师生活动

学会求反函数，形成能力。

规范方法和书写步骤。

方法从实践中来

指导实践。

特别注意：

反函数的定义域是原来函数的值域！故先求值域。

先求值域。

掌握分段函数的反函数的求法！

分段求得反函数再综合

教学意图

【解题小结】：

共同归纳

幻灯显示

师生同解。引导学生弄清题目类型。

提出问题强化定义

及时总结，形成方法定义域和值域都应由原来的函数确定

巩固反函数的理解

三．课堂练习

  参见学案练习（A）、（B）组[B组供部分同学选作]

四．课堂小结

1．  反函数定义；

2．  反函数与原函数的关系；

3．  求反函数的一般步骤。

五．布置作业

     教科书P64 习题 2.4

1、⑤⑥⑦⑧；2、 4

巩固所学

使知识系统化，强化要点

板

书

设

计

ξ2.4  反函数（1）

一．反函数的概念

1．定义：

2．理解：

二．求反函数

 1．例题：

2．求反函数步骤：

教后记