高中数学必修2《圆的一般方程》教案

一.复习引入

提问:

以A(a，b)为圆心，半径为r的圆的标准方程是什么?

讨论并归纳回答。

复习巩固加强记忆。

二.新课讲授

1.思考:

我们先来判断两个具体的方程是否表示圆?

2.教师提问:

(1).是不是任何一个形如 的方程表示的曲线都是圆?

(2).如果不是那么在什么条件下表示圆?(提示:与圆的标准方程进行比较。)

综上所述，方程

表示的曲线不一定是圆,只有当 时，它表示的曲线才是圆， 我们把方程 ( )称为圆的一般方程

与一般的二元二次方程 比较

我们来看圆的一般方程的特点:(启发学生归纳)

学生根据已有的知识，经过配方，把方程化成标准形式，然后加以判断。

1.

2.

(让学生相互讨论后,由学生总结)

配方得

总结

当 时，此方程表示以(- ，- )为圆 心, 为半径的圆;

当 时，此方程只有实数解 ， ，即只表示一个点(- ，- );

当 时，此方程没有实数解，因而它不表示任何图形

①x2和y2的系数相同，不等于0.

②没有xy这样的二次项

使新知识建立在学生已有的知识上

设置问题:提出疑问，诱导学生主动思考，主动探究，合作交流使学生在积极的学习中解决问题，提高学生的教学思维能力，实现素质教育的目标，同时也培养了学生的情感、态度与价值观。

提高学生分析问题和解决问题的能力。

圆的标准方程

圆的一般方程

方程

圆心

半径

r

优点

几何特征明显

突出方程形式上的特点

问题:圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点?

采用类比法加深在研究问题中由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想的认识。

练习1.判断下列方程是否表示圆? 如果是 ,请求出圆的圆心及半径.

三.例题讲解:

例1:求过三点A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。

分析:已知曲线类型,应采用待定系数法

使用待定系数法的圆的方程的一般步骤:

1.根据题意，选择标准方程或一般方程;

2.根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组;

3.解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程。

例2.已知线段 的端点 的坐标是 ，端点 在圆 上运动，求线段 中点 的坐标 中 满足的关系?并说明该关系表示什么曲线?

练习2.求圆心在直线 上,并且经过原点和点(3,-1)的圆的方程

课堂小结

(1)任何一个圆的方程都可以写成 的形式，但是方程 的曲线不一定是圆;当 时，方程 称为圆的一般方程。

(2)圆的一般方程与圆的标准方程可以互相转化;熟练应用配方法求出圆心坐标和半径.

(3)用待定系数法求圆的方程时需要灵活选用方程形式.

想一想:可否先求圆心和半径,再得出圆的方程?

(提示学生结合图形，圆的弦的中垂线的交点为圆心 ，圆心到圆上一点的距离为半径)

加强待定系数法的应用

培养学生数形结合思想，进一步加强学生用代数方法研究几何问题的能力，体现了本节的知识与技能目标。

练习:P123:1、2、3

生:练习

4.1.2 圆的一般方程

课时设计 课堂实录

4.1.2 圆的一般方程

1第一学时 教学活动 活动1【活动】活动

四.教学过程

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

复习圆的定义及圆的标准方程特征

创设问题

设疑

类比

教师引导

总结

一.复习引入

提问:

以A(a，b)为圆心，半径为r的圆的标准方程是什么?

讨论并归纳回答。

复习巩固加强记忆。

二.新课讲授

1.思考:

我们先来判断两个具体的方程是否表示圆?

2.教师提问:

(1).是不是任何一个形如 的方程表示的曲线都是圆?

(2).如果不是那么在什么条件下表示圆?(提示:与圆的标准方程进行比较。)

综上所述，方程

表示的曲线不一定是圆,只有当 时，它表示的曲线才是圆， 我们把方程 ( )称为圆的一般方程

与一般的二元二次方程 比较

我们来看圆的一般方程的特点:(启发学生归纳)

学生根据已有的知识，经过配方，把方程化成标准形式，然后加以判断。

1.

2.

(让学生相互讨论后,由学生总结)

总结

当 时，此方程表示以(- ，- )为圆 心, 为半径的圆;

当 时，此方程只有实数解 ， ，即只表示一个点(- ，- );

当 时，此方程没有实数解，因而它不表示任何图形

①x2和y2的系数相同，不等于0.

②没有xy这样的二次项

使新知识建立在学生已有的知识上

设置问题:提出疑问，诱导学生主动思考，主动探究，合作交流使学生在积极的学习中解决问题，提高学生的教学思维能力，实现素质教育的目标，同时也培养了学生的情感、态度与价值观。

提高学生分析问题和解决问题的能力。

圆的标准方程

圆的一般方程

方程

圆心

半径

r

优点

几何特征明显

突出方程形式上的特点

问题:圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点?

采用类比法加深在研究问题中由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想的认识。

练习1.判断下列方程是否表示圆? 如果是 ,请求出圆的圆心及半径.

三.例题讲解:

例1:求过三点A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。

分析:已知曲线类型,应采用待定系数法

使用待定系数法的圆的方程的一般步骤:

1.根据题意，选择标准方程或一般方程;

2.根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组;

3.解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程。

例2.已知线段 的端点 的坐标是 ，端点 在圆 上运动，求线段 中点 的坐标 中 满足的关系?并说明该关系表示什么曲线?

练习2.求圆心在直线 上,并且经过原点和点(3,-1)的圆的方程

课堂小结

(1)任何一个圆的方程都可以写成 的形式，但是方程 的曲线不一定是圆;当 时，方程 称为圆的一般方程。

(2)圆的一般方程与圆的标准方程可以互相转化;熟练应用配方法求出圆心坐标和半径.

(3)用待定系数法求圆的方程时需要灵活选用方程形式.

想一想:可否先求圆心和半径,再得出圆的方程?

(提示学生结合图形，圆的弦的中垂线的交点为圆心 ，圆心到圆上一点的距离为半径)

加强待定系数法的应用

培养学生数形结合思想，进一步加强学生用代数方法研究几何问题的能力，体现了本节的知识与技能目标。