第十六章 
二次根式

    教材内容

    1．本单元教学的主要内容：

    二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式．

    2．本单元在教材中的地位和作用：

    二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．

    教学目标

    1．知识与技能

    （1）理解二次根式的概念．

    （2）理解


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 




（a≥0）是一个非负数，（

）²=a（a≥0），

=a（a≥0）．

    （3）掌握

·

＝

（a≥0，b≥0），

=

·

；

=

（a≥0，b>0），

=

（a≥0，b>0）．

    （4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减．

    2．过程与方法

    （1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．

    （2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，并运用规定进行计算．

    （3）利用逆向思维，得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．

    （4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的．

    3．情感、态度与价值观

    通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．

    教学重点

    1．二次根式

（a≥0）的内涵．

（a≥0）是一个非负数；（

）²＝a（a≥0）；

=a（a≥0）及其运用．

    2．二次根式乘除法的规定及其运用．

    3．最简二次根式的概念．

    4．二次根式的加减运算．

    教学难点

    1．对

（a≥0）是一个非负数的理解；对等式（

）²＝a（a≥0）及

=a（a≥0）的理解及应用．

    2．二次根式的乘法、除法的条件限制．

    3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．

    教学关键

    1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点．

    2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，培养学生一丝不苟的科学精神．

    单元课时划分

    本单元教学时间约需11课时，具体分配如下：

   
21．1  二次根式            3课时

   
21．2  二次根式的乘法      3课时

   
21．3  二次根式的加减      3课时

    教学活动、习题课、小结     2课时

16．1  二次根式

第一课时

    教学内容

    二次根式的概念及其运用

    教学目标

    理解二次根式的概念，并利用

（a≥0）的意义解答具体题目．

    提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．

    教学重难点关键

    1．重点：形如

（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；

    2．难点与关键：利用“

（a≥0）”解决具体问题．

    教学过程

    一、复习引入

    （学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：

    问题1：已知反比例函数y=

，那么它的图象在第一象限横、纵坐标相等的点的坐标是___________．

问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．

    问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S²，那么S=_________．

    老师点评：

问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x²=3．因为点在第一象限，所以x=

，所以所求点的坐标（

，

）．

    问题2：由勾股定理得AB=

    问题3：由方差的概念得S=

.

    二、探索新知

    很明显

、

、

，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如

（a≥0）的式子叫做二次根式，“

”称为二次根号．

    （学生活动）议一议：

    1．-1有算术平方根吗？

    2．0的算术平方根是多少？

    3．当a<0，

有意义吗？

    老师点评:（略）

    例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：

、

、

、

（x>0）、

、

、-

、

、

（x≥0，y≥0）．

    分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“

”；第二，被开方数是正数或0．

    解：二次根式有：

、

（x>0）、

、-

、

（x≥0，y≥0）；不是二次根式的有：

、

、

、

．

    例2．当x是多少时，

在实数范围内有意义？

    分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，

才能有意义．

    解：由3x-1≥0，得：x≥

    当x≥

时，

在实数范围内有意义．

    三、巩固练习

    教材P练习1、2、3．

    四、应用拓展

    例3．当x是多少时，

+

在实数范围内有意义？

    分析：要使

+

在实数范围内有意义，必须同时满足

中的≥0和

中的x+1≠0．

    解：依题意，得

    由①得：x≥-

    由②得：x≠-1

    当x≥-

且x≠-1时，

+

在实数范围内有意义．

    例4(1)已知y=

+

+5，求

的值．(答案:2)

(2)若

+

=0，求a²⁰⁰⁴+b²⁰⁰⁴的值．(答案:

)

    五、归纳小结（学生活动，老师点评）

    本节课要掌握：

    1．形如

（a≥0）的式子叫做二次根式，“

”称为二次根号．

    2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．

    六、布置作业

    1．教材P₈复习巩固1、综合应用5．

2．选用课时作业设计．

3.课后作业:《同步训练》

    第一课时作业设计

    一、选择题

    1．下列式子中，是二次根式的是（  ）

     
A．-

    
B．

     C．

     D．x

    2．下列式子中，不是二次根式的是（  ）

     
A．

     B．

     C．

     D．

    3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（  ）

     
A．5     B．

     C．

      D．以上皆不对

    二、填空题

    1．形如________的式子叫做二次根式．

    2．面积为a的正方形的边长为________．

    3．负数________平方根．

    三、综合提高题

    1．某工厂要制作一批体积为1m³的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？

    2．当x是多少时，

+x²在实数范围内有意义？

    3．若

+

有意义，则

=_______．

   
4.使式子

有意义的未知数x有（  ）个．

     
A．0     B．1    
C．2     D．无数

5.已知a、b为实数，且

+2

=b+4，求a、b的值．

    第一课时作业设计答案:

    一、1．A  2．D 
3．B

    二、1．

（a≥0） 
2．

  3．没有

    三、1．设底面边长为x，则0.2x²=1，解答：x=

．

    2．依题意得：

，

∴当x>-

且x≠0时，

＋x²在实数范围内没有意义．

3.

    4．B

    5．a=5，b=-4