4.1数系的扩充和复数的概念

一、教学内容

     《数系的扩充与复数的概念》是北师大版普通高中课程标准数学实验教科书选修1-2

第四章第一节的内容.主要包括数系概念的发展简介，数系的扩充，复数相关概念、代数形式，分类、相等条件及复数的几何意义.

复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，引入复数以后，不仅可以使学生对于数的概念有一个更为完整的认识，也为进一步学习数学打下了基础.

在学习了这节课以后，学生首先能知道数系是怎么扩充的，并明白这种扩充是必要的，理解虚数单位i在数系扩充过程中的作用，而复数就是一个实数加上一个实数乘以i的形式.学生还要能清楚的知道一个复数的分类有哪些，两个复数相等的充要条件是什么，及复数的几何意义.

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：数系的扩充以及复数的有关概念.

二、教学目标

(1) 能体会到数的概念是逐步发展的，及引入虚数单位i的合理性；了解引入复数的必要性；

(2) 理解复数的基本概念；掌握两复数相等的充要条件；能够对复数进行简单的分类；

(3) 理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数；

(4) 渗透方程、数形结合等数学思想和方法，整体认识数学学科，形成数学观.

三、学生分析

学生已经学过自然数、整数、有理数、实数等数系，但是对知识的认识相对比较零碎、分散，对知识没有一个系统性的理解，同时由于虚数单位i的概念非常抽象，又与学生原有的知识冲突，因此在学习过程中可能遇到的问题有： 

1.学生不太容易体会到数系再次扩充的必要性.

2.由于学生对数系扩充的知识不熟悉，对了解实数系扩充到复数系的过程有困难，也就是对虚数单位i的引入难以理解.

3.学生通过类比实数的几何意义自己探索复数的几何意义较困难.

在学习本节课的过程中，复数的概念如果采用单纯的讲解会显得比较枯燥无味，教学时，先采用微课视频的形式带学生回顾数集的发展历程，让学生体会数系的扩充是为了满足生产实践的需要及解决数学内部的矛盾，并使学生对数的形成、发展的历史和规律有着比较清晰的认识，让学生能够在问题探索中掌握新知.

基于以上分析，确定本节课的教学难点是：对引入复数引入必要性的认识及复数的几何意义.

五、教学过程分析

（一）课题引入

多媒体课件展示标题，直接引入课题.

（二）复习回顾

问题1：同学们能列举一些我们学过的数集，并用字母来表示吗？

问题2：他们之间的关系是怎样的？

（三）问题导引

通过观看小微课，回顾了数系的发展历程，发现数系在不断地进行扩充，从自然数到整数，再到有理数，乃至实数.

思考问题：人们为什么不断地扩充数系？

师：通过观看视频可以发现，满足社会生活实践的需要，是数系扩充的一个重要原因.正所谓自然数是“数”出来的，分数是“分”出来的，负数是“欠”出来的.另外，数学内部的发展、需求也是一个重要的原因！

并通过视频的方式，自然地提出了一元二次方程x2+1=0无实数解这个问题.

【设计意图】 通过回顾数系的发展历程，体会数系扩充的必要性，为下面的学习做好铺垫.

（四）问题探究

探究一、复数的概念

引导1：由于解方程的需要，人们引入了一个新数i，并规定：

（1）i2=-1 ；

（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立.引导2:复数的有关概念：

（1）我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位 .

      全体复数所组成的集合叫做复数集，常用大写字母C表示.

（2）复数的代数形式：

复数通常用小写字母z表示，即z= a+bi (a,b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中实数a叫做复数 的实部，实数b叫做复数 的虚部.【强调a,b必须为实数】

引导3：复数的分类 

1.对于复数z= a+bi (a,b∈R)：

当且仅当 时，复数 表示  实数   

当 时，复数 叫做   虚数      

当 时，复数 叫做  纯虚数    

你能用图表的形式将复数、实数、纯虚数的关系形象的表示出来吗？

例1 说出下列四个复数的实部、虚部，并指出它们是实数还是虚数，如果是虚数，请指出是否为纯虚数：

（1）3+4 i       (2)-√3/2 i     （3）i-7      （4）0

【设计意图】加强对复数的概念的理解及考察复数的分类掌握情况，其中第2个-√3/2 i ，可能很多同学一开始学复数对概念理解不清楚会认为虚部为√3/2 i.

探究二、复数相等的条件

问题1：对于复数a+bi和c+di(a,b,c,d ∈R)，你认为满足什么条件时，这两个复数相等？

师：我们不妨先思考一个一元二项式相等的情况，比如x+y√2=3+√2，求x,y.那类比一元二项式，我们规定两个复数相等的充要条件为他们的实部与虚部分别相等.即a=c且b=d.

例2 设x，y∈R，并且(x+2)-2xi=-3y+(y-1)i，求x，y的值.【求解过程板书】

解：由复数相等的意义，得

{█(x+2=-3y,@-2x=y-1.)┤

解这个方程组，得

{█(x=1,@y=-1.)┤

【设计意图】将复数相等的问题转化为方程组的求解问题，渗透方程思想.

探究三、复数的几何意义

引导1：我们知道实数可以用数轴上的点来表示。

实数（数）         一一对应          实数轴上的点（形）

问题1：类比实数的几何意义，你能否找到用来表示复数的几何模型？

引导：若把a,b看成有序实数对（a,b），则（a,b）与复数a+bi是怎样的对应关系？有序实数对（a,b）与平面直角坐标系中的点是怎样的对应关系？

（任何一个复数z=a+bi(a,b∈R)，都可以与一个有序数对（a，b)一一对应。又因为有序数对(a,b)与平面直角坐标系中的点一一对应所以复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应的关系.） 

模型建构：

1.复平面的概念

当直角坐标系平面内的点来表示复数时，我们称这个直角坐标平面为复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。

这样，任一个复数z=a+bi与复平面内的点Z(a,b)是一一对应的.

又因为复平面内的点Z(a,b)与(原点出发的)平面向量 是一一对应的，所以一个复数z=a+bi与复平面内的向量 =(a,b)也是一一对应的. 三者的关系如下：

2.复数的模

复数z=a+bi在复平面内的对应的点是Z(a,b)，我们将点Z(a,b)到原点的距离|OZ|叫做复数的模或绝对值，记作 |z|,显然 

|z|=a+bi= .

【例3】在复平面内表示下列复数，并分别求出它们的模：【求模过程板书】

（1）-2+3i       （2）3-4i    （3）-1-3i       （4）0

【设计意图】在复平面内找到复数对应的点，完成由代数（数）到几何（形）的转化.

练习 说出图中复平面内点A,B,C,D,E所表示的复数.

【设计意图】与例3相配合，实现从复平面内的点（形）到复数的代数形式（数）的转化，渗透数形结合思想.

（五）课堂小结

  1.总结上课的内容

2.总结思想方法

（六）课后作业

1.课后作业

1.求实数m的值，使复数(m^2-2m-3)+(m^2-3m-4)i分别是：

（1）实数   （2）纯虚数    （3）零

2.求适合下列各方程的实数x,y:

（1）(x+y)-xyi=6+7i ;

（2）(x^2-4x-5)+(y^2+3y-4)i=0.

3.在复平面上作出表示下列复数的点：

（1）-1+2i       （2） √3/2+1/2 i     （3）3i      （4）5 

2.课后作业答案

1,2,3