发布者：张水松 所属单位：宿松县程集中学 发布时间：2020-07-26 浏览数( -) 【举报】
递推数列求通项
知识梳理
1．数列的递推公式：如果已知数列{an}的第一项(或前几项)，且任何一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即an＝f(an－1)(或an＝f(an－1，an－2)等)，那么这个式子叫做数列{an}的递推公式．
2．Sn与an的关系：已知数列{an}的前n项和为Sn，则an＝这个关系式对任意数列均成立．
一、利用an与Sn的关系求通项：
数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系为an＝通过纽带：an＝Sn－Sn－1(n≥2)，根据题目已知条件，消掉an或Sn，再利用特殊形式(累乘或累加)或通过构造成等差数列或者等比数列求解．
[例] 已知数列{an}的前n项和为Sn.
1.若Sn＝3n＋2n＋1，
2.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，
3.已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n＋1(n∈N*)，求数列{an}的通项公式
4.设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.
二、利用递推关系求通项
1. 累加法：形如
型的递推数列（其中是关于的函数）
①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;
② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;
③若是关于的二次函数，累加后可分组求和;
④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和.
2. 累乘法：形如型的递推数列（其中是关于的函数）
3. 构造数列法：
㈠形如（其中均为常数且）型的递推式：
（1）若时，数列{}为等差数列; （2）若时，数列{}为等比数列;
（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如下两种：
设,展开移项整理得,与题设比较系数（待定系数法）得,即构成以为首项，以为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
㈡形如型的递推式：
⑴当为一次函数类型（即等差数列）时：
设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
⑵当为指数函数类型（即等比数列）时：
设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
⑶当为任意数列时，可用通法：
在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得.
4. 对数变换法：形如型的递推式：
在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）。
5. 倒数变换法：形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求；
还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求.
6. 形如型的递推式：
用待定系数法，化为特殊数列的形式求解。方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型。
总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式
[例] (1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2，求数列{an}的通项公式．
(2)在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求数列{an}的通项公式．
(3)在数列{an}中a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式．
(4)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，求数列{an}的通项公式．
（5）数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln
（6）已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0. 求{an}的通项公式．
三、综合运用
1、数列{an}满足a1＝1,a2＝2,an＋2＝2an＋1－an＋2.
(1)设bn＝an＋1－an,证明{bn}是等差数列；
(2)求{an}的通项公式．
2、设是首项为1的正项数列,且,则 .
3、在数列中，，，则的通项公式为_________．
4．设数列满足，，___________．
5．已知各项均为正数的数列的前项和为，且．
（1）求；（2）设，求数列的前项和．
6．在数列中，，．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的前项和．
注意：避免2种失误
(1)利用累乘法，易出现两个方面的问题：一是在连乘的式子中只写到，漏掉a1而导致错误；二是根据连乘求出an之后，不注意检验a1是否成立．
(2)利用构造法求解时应注意数列的首项的正确求解以及准确确定最后一个式子的形