当前位置 :项目首页 > 研修日志 > 正文

§6.2算术平均数与几何平均数（第二课时）

一、教材分析：

（一）教学目标

1．理解均值不等式求函数最值的条件.　

２．掌握应用均值不等式求函数最值

（二）教学重点、难点、关键

　　重点：用均值不等式求某些函数的最值及有关的应用问题．

　　难点：创造条件,灵活运用均值不等式求函数的最值.

关键：理解均值不等式求函数的最值的三个条件．

（三）教材处理

第二课时讲解应用均值不等式求某些函数的最值及有关的应用问题.为了讲好均值不等式这节内容，在紧扣新教材的前提下，对例题作适当的调整，适当增加例题．

二．教法分析

　　（－）教学方法

　　为了激发学生学习的主体意识，又有利于教师引导学生学习，培养学生的教学能力与创新能力，使学生能独立实现学习目标．在定理条件的教学及其应用中采用归纳法；在例题部分，主要采用讲练结合法进行．

　  （二）教学手段

根据本节知识特点，为突出重点，突破难点，增加教学容量，利用计算机辅导教学．

三．教学过程设计

（－）导入新课

（教师活动）教师打出字幕（引例）；设置问题，引导学生思考，启发学生应用均值不等式解决有关实际问题．

（学生活动）思考、回答教师设置的问题，构建应用均值不等式解决实际问题的思路．

［字幕］引例．如图，用一段长为 L m 的篱笆围一个

一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长`宽各为多少时           

花园的面积最大,最大面积是多少？

问题1:如何把它转化成为 一个数学问题 ?

（学生口答：设垂直于墙的一边为_，则矩形面积           

问题转化成为求函数y的最大值及取得最大值时的的值）

问题2:如何求这个函数的最大值? 

（学生口答：利用配方法）

设计意图：从学生熟悉的实际问题出发，激发学生应用数学知识解决问题的兴趣，通过设问，引导和启发学生用所学的均值不等式解决有关实际问题，引入课题．

（二）新课讲授

（教师活动）教师打出字幕（课本例题1），引导学生研究和解决问题，

帮助学生建立用均值不等式求函数最值的知识体系

（学生活动）尝试完成问题的论证，构建应用均值不等式求函数最值的方法．

[字幕]例1：已知x,y都是正数，求证：

　　（1）如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值    ；

　　（2）如果和x+y是定值S，那么当x=y时，积 xy有最大值 

证明：运用          证明（略）．

［点评］

　（l）若x,y是正数，P,S是定植.

①的结论:                    

②的结论:                               

当且仅当时取“=”号.

　（2）上述结论给出了一类函数求最值的方法，即均值不等式求函数最值法．

（3）应用均值不等式求函数最值要特别注意：两个变量都为正值；两个变量的积（和）为定值；当且仅当 取“=”,这三个条件缺一不可，即“一正，二定，三相等”同时成立．

设计意图：引导学生分析和研究问题，建立新知——应用均值不等式求最值的方法

【例题示范，学会应用】

　　（教师活动）打出字幕（例题），引导学生分析问题，研究问题的解法．

（学生活动）分析、思考，尝试解答问题．

[字幕] 例2:求函数                 的最小值.

［分析］因为这个函数中的两项都是正数且是常数，所以直接用均值不等

式求解.

[字幕] 变式1:求函数                  的最大值.

［分析］因为函数中的两项都不是正数, 所以不能直接用均值不等式求解．应把含变量的各项都变正数，即函数变形为                   ，再用均值不等式求得这个函数的最小值-2.

[字幕]变式2:求函数  的最小值. 

［分析］因为这个函数中的两项不都是正数且        的积也不是常数，所以不能直接用均值不等式求解．但把函数变形为                    后，正数          的积是常数1，可以用均值不等式求得函数的最小值1．

[字幕]变式3:求函数  的最小值.

［分析］把函数变形为，再利用均值不等式求得函数的最小值9

[字幕]引申:求函数  的最小值.

［分析］将视x+1为一个整体（换元）即                         ，然后为                     ，化归为利用均值不等式求函数最值的问题. 

函数的最小值9

［点评］对于类似的分式函数，通过换元和变形化归成可用均值不等式求函数的最值.

想一想：

解: ∵ x²≥0, ∴ x²+2>0.

∴ y =          =         +

［分析］等号成立的条件：         =          ，即x²+1=0,因方程无实数解.所以最小值2不能取到.

［点评］用均值不等式求函数的最值时，“一正，二定，三相等”三个条件缺一不可.这类问题常见的错误：直接套用均值不等式，忽视等号不能取到这一点.

[字幕]例3: 若         ，求函数y=x(1-2x)的最大值.

 ［分析］这个函数中的两项都是正数，但x与1-2x的和不是常数，所以不能直接用均值不等式求解．但把函数变形为                后，可以用均值不等式求得这个函数的最大值    

(教师活动) 引导学生解决引入实例.

（学生活动）尝试解答实际问题，使学有所用.

［点评］用均值不等式求函数的最值时，“一正，二定，三相等”三个条件缺一不可.不满足和为定值时，通过配凑系数化成和为定值，再用均值不等式求得这个函数的最大值.

【课堂练习】

(教师活动) 打出字幕（练习），要求学生独立思考，完成练习；巡视学生解题情况，对正确的给予肯定，对偏差进行纠正；讲评练习．

（学生活动 在笔记本且完成练习．

[答案] 1.当x=±3时，函数y的最小值18  

2. 当x=时，函数y的最大值25 .  

设计意图:训练学生掌握应用均值不等式求最值．反馈课堂教学效果，调节课堂教学．

【分析归纳、小结解法】

　　（教师活动）教师小结本节课所学的知识要点．

　　（学生活动）与教师一道小结，并记录笔记．

　　这节课学习了利用均值不等式求某些函数的最值问题．现在我们又多了一种求正变量在定积或定和条件下的函数最值方法．这是均值不等式的一个重要应用，也是本节的重点内容，同学们要牢固掌握．

　　应用时要注意 “一正、二定、三相等”三个条件同时成立，且会灵活转化问题，达到化归的目的．

设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识．

（四）布置作业

1．课本作业：第11页  4，5，6

2．补充题：若x>1,求函数的最小值．

设计意图：课本作业供学生巩固基础知识；补充题供学有余力的学生练习．

（五）课后点评

　　1．关于新课引入设计的想法：导入这一环节是调动学生学习的积极性，激发学生探究精神的重要环节，本节课开始给出一个引例，通过探究解决此问题的各种解法，产生用均值不等式求最值，点明课题．事实上，在解决引例问题的过程中也恰恰突出了教学重点．　

2．关于课堂练习设计的想法：正确理解和使用均值不等式求某些函数的最值是教学难点．为突破难点，教师单方面强调是远远不够的，只有让学生通过自己的思考、尝试，发现使用均值不等式的三个条件缺一不可，才能大大加深学生的理解，设计解法正误讨论能够使学生尝试失败，并从失败中找到错误原因，加深了对正确解法的理解，真正把新知识纳入到原有认知结构中

● 板书设计