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第六章 万有引力与航天

6.3 万有引力定律

★教学目标

(一) 知识与技能

1. 体会物理研究中猜想与验证的魅力，能够踏着牛顿的足迹了解月地检验。

2. 进一步大胆地推导得出万有引力定律。

3. 了解引力常量的测量及意义。

(二) 过程与方法

1. 通过月地检验感觉逻辑推理的严谨。

2. 感受牛顿在推导出万有引力定律过程中的魄力。

3. 体会物理学中将微波形变放大的思想。

(三) 情感态度与价值观

1. 让学生体验感受物理研究过程中的严谨与魅力，激发学生研究物理的兴趣。

2. 感受科学知识在生产生活中的巨大作用力。

★教学重点

1. 万有引力推导的过程。

2. 万有引力公式的体会及应用。

3. 引力常量的有关知识。

★教学难点

1. 万有引力推导的过程。

2. 万有引力公式的体会及应用。

★教学过程

一、引入

师：通过上节课的学习我们了解到：行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力是由太阳与行星间的引力提供的，引力大小为，与两星体质量的乘积成正比，与两星体距离的平方成反比。

师：牛顿接着又思考：月球绕地球做匀速圆周运动的向心力是不是类似地由地球与月球间的引力提供？地球和月球间的引力与太阳和行星的引力会不会是同一性质的力，遵循同一规律呢？

师：正当牛顿在思考这个问题时，苹果偶然落地引起了他的遐想。苹果之所以会落回地面是因为地球对苹果的吸引力，还有即使把苹果放到最高的建筑物或最高的山顶上，苹果的重力也不会明显地减弱，说明地球对苹果的吸引力必定延伸到远得多的地方。那如果把苹果放到月球所在的位置，它们应该还会受到地球给它的重力。按这样的说法，月球肯定会受到地球给它的重力的，那我先前思考的地球对月球的引力就应该就是月球受到的重力，月球绕地球做圆周运动的向心力就是由月球受到的的重力提供的。于是牛顿作了一个大胆的猜想：地球对苹果的力、地球对月球的力及太阳对行星的力可能是同一种性质的力，它们可能遵循相同的规律。

二、月地检验

师：猜想必须由事实来验证。由于当时已经能够精确测定地球表面的重力加速度g=9.8m/s²，也能比较精确地测定月球与地球的距离为60倍地球半径，r=3.8*10⁸m；月球公转的周期为27.3天。所以牛顿就想到了月地检验。

师：如果你是牛顿，你如何利用这些已知量对你的猜想进行验证呢？

学生思考，教师巡视，应该有不少学生能够思考出来一点头绪。

如果它们是同一种性质的力，满足同一规律则对于苹果必有

对于地球对月球的引力即向心力，则向心加速度为

而根据实验观测数据T=27.3天，r=3.8*10⁸m，用公式

【实验结论】：实验表明，地面物体所受地球的引力，月球所受地球的引力，以及太阳与行星间的引力，真的遵循的规律

三、万有引力

师：在月地检验后，牛顿作了更大胆的设想：是否任意两个物体之间都存在这样的引力？很可能是一般物体的质量比天体质量小得多，它们之间的引力我们不易觉察罢了。于是牛顿将结论大胆推广到宇宙中的一切物体：自然界中任何两个物体之间都相互吸引，引力大小与m₁m₂乘积成正比，与r²成反比，即。

师：尽管这个推广是什么自然的，但仍要接受事实的直接或间接的检验。本章后面的讨论表明，由此得出的结论与事实相符，于是它成为科学史上最伟大的定律之一——万有引力定律。它于1687年发表在牛顿的传世之作《自然哲学的数学原理》中。

师：万有引力定律清楚地向人们揭示，复杂运动的后面隐藏着简洁的科学规律，它明确地向人们宣告，天上和地上的物体都遵循着完全相同的科学法则。

师：万有引力定律的发现有着重要的物理意义：它对物理学、天文学的发展具有深远的影响；它把地面上物体运动的规律和天体运动的规律统一起来；对科学文化发展起到了积极的推动作用，解放了人们的思想，给人们探索自然的奥秘建立了极大信心，人们有能力理解天地间的各种事物。

注意：

1. 此公式适用于可视为质点的两物体间的引力的计算。（1）如果两物体间的距离远远大于物体本身大小，则两物体看作质点; (2)对于均匀球体，可视为质量集中于球心。

2. 对于不能视为质点的物体，可以将物体无限分割成无数个点。

3. 太阳对地球的吸引力与地球对太阳的吸引力哪个大？

例1、由公式可知，当两物体距离趋向于0时,两物体之间的引力趋于无穷大。这种观点对吗？

【解析】：当两物体间距离趋于0时，公式已不适用。

例2、离地面某一高度h处的重力加速度是地球表面重力加速度的二分之一，则高度h是地球半径的          倍。

【解析】：地球表面上物体所受重力约等于地球对物体的引力，则有

，式中G为引力常量，M为地球质量，m为物体质量， R为轨道半径。

离地面高度为h处，

由题意知，两式相消解得 

例3、设地球的质量为，地球半径为，月球绕地球运转的轨道半径为，试证在地球引力的作用下：

（1）地面上物体的重力加速度；

（2）月球绕地球运转的加速度。

【解析】：（1）利用在地球表面重力等于万有引力，即，∴

（2）利用万有引力提供向心力，即，∴

答案：，

例4、证明太阳系中各行星绕太阳公转周期的平方，与公转轨道半径的三次方的比值是与太阳质量有关的恒量。

证明：设太阳质量为M，某行星质量为m，行星绕太阳公转周期为T，半径为R。轨道近似看作圆，万有引力提供行星公转的向心力

而， ∴

例5、地球半径为,地面附近的重力加速度为,试求在地面高度为处的重力加速度。

【解析】：在地球表面附近，重力近似等于万有引力，即，∴

当距地面处时，万有引力提供向心力，，∴∴

四、引力常量

师：牛顿得出了万有引力定律，但他却无法用这个公式来计算天体间的引力，因为他不知道引力常量G的值。直到一百多年后英国物理学家卡文迪许通过实验比较准确地测出了G值。

师：有哪位同学能告诉我引力常量G的单位。

生：根据公式可推出公式单位为。

【单位】：

卡文迪许扭秤实验

（1）仪器：卡文迪许扭秤

（2）原理：如图                       

1固定两个小球的T形架，可以使，之 间微小的万有引力产生较大的力矩，使石英丝产生一定角度的偏转,这是一次放大。

2让光线射到平面镜M上，在M偏转角后，反射光线偏转2角。反射光点在刻度尺上移动的弧长，增大，可增大，又一次“放大”效应。

3测出，根据石英丝扭转力矩跟扭转角度的 关系算出这时的扭转力矩，进而求得万有引力F。

观看动画：扭秤；卡文迪许实验；桌面微小形变

【牢记】：通常取G=6.67*10^-11N*m²/kg²

卡文迪许测出G值的意义：

1. 证明了万有引力的存在。

2. 使得万有引力定律有了实用价值。

例6、要使两物体间的万有引力减小到原来的1/4，下列办法不可采用的是（D ）

A.使两物体的质量各减小一半，距离不变

B.使其中一个物体的质量减小到原来的1/4，距离不变

C.使两物体间的距离增为原来的2倍，质量不变

D.使两物体间的距离和质量都减为原来的1/4

例7、半径为R,质量为M的均匀球体,在其内部挖去一个半径为R/2的小球,在距离大球圆心为L处有一个质量为为m的小球,求此两个球体之间的万有引力.

【解析】：化不规则为规则——先补后割（或先割后补）,等效处理

在没有挖去前，大球对m的万有引力为，该力等效于挖去的直径为R的小球对m的力和剩余不规则部分对m的力这两个力的合力。则设不规则部分对m的引力为，有

【问题】：为什么我们感觉不到旁边同学的引力呢？

【解析】：下面我们粗略地来计算一下两个质量为50kg，相距0.5m的人之间的引力F=GMm/R2=6.67×10^-7N

【答案】:那么太阳与地球之间的万有引力又是多大？

【解析】：已知：太阳的质量为M=2.0×10³⁰kg，地球质量为m=5.9×10²⁴kg，日地之间的距离为R=1.5×10¹¹m F=GMm/R2=3.5×10²³N

五、万有引力与重力：

一、理论：

：在赤道，向心力最大，重力最小；在两极，无向心力，重力最大；纬度越高，重力越大，g越大。

观看动画文件：重力与万有引力的关系

二、计算中：

因为物体自转向心加速度很小，与重力加速度相比可以忽略，即使是在赤道，向心加速度也只有0.034m/s²，而重力加速度为9.8m/s²。，离地越高，g越小。

【牢记】：实际计算中忽略地球自转影响，近似认为物体受到的重力就是地球对物体的万有引力。