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3.5函数的单调性

函数，我们在初中的时候都已经学过了，也学过函数的增减性，那对于一个函数的“上升”和“下降”的性质，我们是如何知道的呢？通过观察图像

那我们先来看一下几个简单的函数图像，画出 ，，函数的图像

大家先观察第一个图像，从左至右上升

          第二个图像，从左至右下降

那对于第三个图像呢，下降，上升，图像这种上升和下降的性质描述的就是单调性，也就是说函数的单调性描述的是函数图像的上升和下降，那思考一下，如何来描述函数的单调性呢？我们先来看一下这个图像，我们可以再轴右边取一些点，通过解析式可以算出它的函数值

通过这个表格，我们可以发现，自变量增大时，函数值也相应的增大，那如果我们在y轴右边不是取的一些整数点，而是任意的取两点，，，同学们思考一下是不是有，函数图象在y轴左侧从左至右“下降”，函数图象在y轴右侧从左至右“ 上升”； 现在以在y轴右侧为例，函数值随的增大而增大，我们就说在上为增函数，这是从图象的角度来认识增函数的．如何从解析式的角度用数学语言来描述它呢？

从解析式角度用数学语言描述：在区间上，任意取两个实数，，由解析式可得到=，当时，有.所以函数在区间上为增函数.

     对于一般的函数，我们应当如何给增函数下定义

1、增函数的定义

设函数的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说函数在区间D上为增函数．

现在我们看在y轴左侧，随着自变量的增大，函数值反而减小，就称在上为减函数．可类似用上述数学语言描述可得到当时，有.

于是类比上述的定义方法归纳出减函数的定义．

2、减函数的定义

设函数的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说函数在区间D上是减函数．

如果函数在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做的单调区间．

说明： 1)增函数的图象从左至右是上升的，减函数的图象从左至右是下降的；

2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是函数的局部性质；

例题讲解，深化知识

例1  如图所示函数y= f(x )是定义在[-5，5]上的单调函数，说出它的单调区间以及在这些区间上是增函数还是减函数？

例2  物理学中的玻意耳定律（k为常数），告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强P将增大，试用函数的单调性证明之。

分析：把看成是一个函数，V为自变量，P为函数值，则只要证明函数在区间上是减函数即可。

证明：任取，且，

 ，

由得，

又由得.

又，于是    ,即.

所以函数在（上为减函数，当体积V减小时，压强P增大.