第七章 平行线的证明

1．为什么要证明

一、学生知识状况分析

     学生的技能基础：在七年级和八年级上学生学习了很多与几何相关的知识，为今天的进一步的学习作好了知识储备，同时，学生也经历了很多验证结论合理性的过程，有了初步的逻辑推理思维，合情推理能力得到了很大的提高，为今天系统的培养学生严谨的逻辑推理能力打下了良好的基础．

    学生活动经验基础： 在以往的几何学习中，学生已经参与了对几何图形的观察、比较、动手操作、猜测、归纳等活动，对今天本节课的分组讨论、自主探究等活动有很大的帮助．

 

二、教学任务分析

学生的直观能力是数学教学中要培养的一个方面，但如果学生仅有对图形的直观感受而不能进行推理、论证，有时是会产生错误的结论，本课时安排《你能肯定吗》的教学是让学生的直观感受与实际结果之间产生思维上的碰撞，从而使学生对原有的直观感觉产生怀疑，从而确立对某一事物进行合理论证的必要性。因此，本课时的教学目标是：

1.运用实验验证、举反例验证、推理论证等方法来验证某些问题的结论正确与否．   

2.经历观察、验证、归纳等过程，使学生对由这些方法所得到的结论产生怀疑，以此激发学生的好奇心，从而认识证明的必要性，培养学生的推理意识．

3.了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理论证等．

 

三、教学过程分析

本节课的教学思路为：验证活动（1）——猜想并验证活动（2）——猜想并验证活动（3）——经验总结——学生练习——课堂小结——巩固练习

 

第一环节：验证活动（1）

活动内容：

    某学习小组发现，当n=0，1，2，3时，代数式n²-n+11的值都是质数，于是得到结论：对于所有自然数n， n²-n+11的值都是质数．你认为呢？与同伴交流．

参考答案：列表归纳为

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	…
n2-n+11	11	11	13	17	23	31	41	53	67	83	101	121
是否为质数	是	是	是	是	是	是	是	是	是	是	是	不是

活动目的：

   对现在结论进行验证，让学生感受到知识有时具有一定的迷惑性（欺骗性），从而对不完全归纳的合理性产生怀疑，为下一步的学习提供必要的精神准备．

注意事项：

   学生通过列表归纳，根据自己以往的经验判断，在n=10以前都一直认为n²-n+11是一个质数，但当n=10时，找到了一个反例，进而发现不能根据少数几个现象轻易肯定某个数学结论的正确性．

 

第二环节：猜想并验证活动（2）

活动内容：

    如图，假如用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球形）？能放进一个红枣吗？能放进一个拳头吗？

参考答案：设赤道周长为c，铁丝与地球赤道之间的间隙为 ：

          它们的间隙不仅能放进一个红枣，而且也能放进一个拳头．

活动目的：

   通过理性的计算，验证了很难想像到的结论，让学生产生思维上的碰撞，进而对自己的直观感觉产生怀疑，再次为论证的合理性提供素材．

注意事项：

    要充分让学生发表自己的见解，首先让学生对自己的结论确信无疑，再进一步计算，结果与学生的感觉产生矛盾，切忌直接进行计算，把结论告诉学生，这样就达不到预想的要求，不能让学生留下深刻的印象.

 

第三环节：猜想并验证活动（3）

活动内容：

    如图，四边形ABCD四边的中点E、F、G、H，度量四边形EFGH的边和角，你能发现什么结论？改变四边形ABCD的形状，还能得到类似的结论吗？

参考答案：连接AC．

          ∵E、F、G、H分别是四边形ABCD四边中点，

　　　　 ∴EF∥AC，EF=AC；GH∥AC，GH=AC；

         ∴EF平行且等于GH，

         ∴四边形EFHG为平行四边形．

活动目的：

   通过对图形的直观感受得出结论，但要使学生清楚地知道对几何结论的验证，通常是用严谨的逻辑推理来论述．

注意事项：

    让学生大胆地进行预测，但要让学生说清理由，让学生了解几何证明的必要性.

 

第四环节：归纳与总结

活动内容：

    ① 通过以上三个数学活动，使学生对每一个问题的结论的正确性有了怀疑，从而知道了由观察、猜想等渠道得到的结论还必须经过有效的证明才能对其进行肯定．也即：要判断一个数学结论是正确，仅观察、猜想、实验还不够，必须经过一步一步， 有根有据的推理．

   ②举例说明“推理意识”与推理方法．

活动目的：

   使学生理解仅有对图形的直观感受是不够的，从而帮助学生建立推理意识．

注意事项：

   让学生用自己的语言进行叙述，培养学生的表达能力.

 

第五环节：反馈练习

   活动内容：1.如图中两条线段a与b的长度相等吗？请你先观察，再度量一下.

                                          

答案：a与b的长度相等.

第1小题图        第2小题图  

2.如图中三条线段a、b、c,哪一条线段与线段d在同一直线上？请你先观察，再用三角尺验证一下.

答案：线段b与线段d在同一直线上.

3.当n为正整数时，n²+3n+1的值一定是质数吗？

答案：经验证：当n为正整数时，n²+3n+1的值一定是质数.

 

第六环节：课堂小结

活动内容：

    今天这节课你学到了什么知识？

参考答案：① 要说明一个数学结论是否正确，无论验证多少个特殊的例子，也无法保证其正确性． 

②要确定一个数学结论的正确性，必须进行一步一步、有根有据的推理．

活动目的：

    通过学生的总结，使学生对证明的必要性有一个清楚的认识，数学杜绝随意性，数学是严密的科学.

注意事项：

    通过前三个例题的感受以及反馈练习，学生都清楚地知道推理、论证的必要性，了解了数学不是一种直观感受，而是一种严密的科学.

 

第七环节  巩固练习

课本第217页习题6.1第2，3题．

 

四、教学反思

本节课的教学设计是建立在“以学生的发展为本，为学生的终身学习奠定基础”的教育理念上，融入了新课标的思想内涵，尊重学生的直观感觉，并从学生的直观感觉出发逐步将学生的思维引向严密性、逻辑证明等方面，不是一味地强调证明的必要性，而是通过几个事实的说明来让学生意识到证明的必要性，设计中突出体现了学生的主体地位.

在教学设计中，力求让学生学会将生活问题数学化，用一个有趣的生活问题：“用一根铁丝将地球赤道围起来”引起学生的兴趣并进行猜测，然后通过计算得出一个令人很意外的结果，同时也培养了学生“用数学”的意识，并且使得学生有一种感受：数学来源于生活，服务于生活，同时也要用数学的眼光看世界，切勿盲信于自己的直观感觉.

本节课通过事例让学生体会检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理等.符合学生的认识特点和知识水平。有助于培养学生理解问题、分析问题、解决问题的能力.