圆的一般方程教学设计 一、教材分析 教材是在圆的标准方程的基础上得出了圆的一般方程，然后分析方程特点，即讨论系数在通过配方观察方程何时表示圆、何时不是圆，判断的标准是圆的标准方程，这样做紧扣圆的几何特征，最后得出二元二次方程表示圆的充要条件，使学生加深对圆的一般方程的认识与记忆，认识到标准方程与一般方程的联系与区别。并对数学中分类思想，对比记忆等思想有更深的了解和掌握。 教材配备了两个例题，例3利用圆的标准方程求同心圆方程：例4则是利用待定系数法通过一般方程解过三点的圆的方程，这是数学中常用的一种方法。 二、学情分析 学生是在已有知识的基础上能够推导出圆的一般方程，并能初步利用圆的标准方程的特点研究圆的一般方程，学生在利用圆的一般方程解决问题时，常忽略表示圆的条件，灵活使用圆的方程的两种形式解决问题是学生学习的难点。 三、本节渗透的数学思想及教学方法分析 根据以上教材分析，贯彻以启发性教学原则，教师引导，学生学习为主体的教学思想，分析与讨论结合。 1、经历用待定系数法求圆的方程的过程，它是数学中常用的一种方法，在学习过程中体会用代数方法解决几何问题的思想。 2、圆的一般方程含有三个参变量，需要三个条件坐标才能确定圆，树立利用方程的思想求解参数变量。 3、引导学生分析两个方程之间的互化关系，选择两个方程解决问题的条件和优缺点。 4.教学中体现了转化、数形结合及方程的数学思想方法。 四.教学目标 知识与技能： 1、掌握圆的一般方程及一般方程的特点 2、能将圆的一般方程化成圆的标准方程，进而求出圆心和半径 3、能用待定系数法由已知条件求出圆的方程 过程与方法： 1、通过问题的分析与解决使学生认识研究问题中由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想。 2、通过分析，充分了解分类思想在数学中的重要地位，强化学生的观察，思考能力。 情感态度与价值观： 培养学生主动探索、勇于思考、合作交流的意识，在体现数学美的过程中激发学生的学习兴趣，从而培养学生勤于动脑和动手的良好思维品质。 五.教学重、难点 教学重点： 1.圆的一般方程的形式特征。 2.待定系数法求圆的方程。 教学难点： 1. 方程及对分类讨论。 2.根据具体条件，选择圆的方程解决有关问题及待定系数法求圆的方程。 难点突破： 通过对的分类讨论，使问题化难为易，难点个个攻破，使课堂教学显得轻松易学。 六．学法分析 在教学活动中，教师提出疑问，引导学生主动思考，主动探究，讨论交流，在积极的学习中解决问题，获得知识。贯穿“疑问”—“思索”—“发现”—“解惑”四个学习环节。 七．教学过程设计 一、创设情境，引发思考，引入新知 问题1：A.B两镇相距10km，为了响应党的号召,丰富人民的文化生活,现在两镇之间修建一个文化广场,为方便大部分群众,现要求广场到两镇之间距离的平方和为60,那么广场应修建在何处? 分析：仅仅依据问题中的几个数据无法表示距离，若将这个问题放在直角坐标系中来考虑，就能很快表示出距离，以AB两镇所在的直线为轴，以AB的中点为坐标原点建立直角坐标系，则，设为广场所在的位置，则有，化简得。你能说明这是一个什么方程吗？广场应建在什么位置？ 设计意图：以生活中的实例提出问题，激发学生的学习兴趣，并借此复习学生已经掌握的圆的标准方程，并为圆方程改写成二元二次方程的形式引出圆的一般方程做铺垫。 二、深入思考，得出结论 如果形如方程表示的曲线是圆，那么由方程可求出圆心和半径。下面我们配方整理可得： 比较圆的标准方程 2x-a2+2y-2b=r2与的形式 上式表不表示圆，关键跟的正负有关。 1、当时，表示以为圆心，以为半径的圆。 2、当=0时，方程只有实数解， 即表示一个点。 3、当时，方程没有实数解，因而不表示任何图形。 综上所述，方程表示的曲线不一定是圆，只有当时，它表示的曲线才是圆，此时叫圆的一般方程。表示以为圆心，为半径的圆。 设计意图：通过本过程，学生实现了对圆的方程更深的理解，实现了对圆的一般方程的理解。引导学生理解圆的一般方程的意义，真正知道什么情况下表示圆，并理解为什么。 三、两相对比，加深理解 标准方程：2x-a2+2y-b2=r2明确指出了圆心和半径。 一般方程：突出了形式上的特点 1．和的系数相同，且不等于0。 2．没有xy这样的二次项。 设计意图：通过比较，不仅复习了以前的知识，增强了记忆。对今天的新课也有了更深层次的理解。 四：知识运用，巩固概念 例1．判别下列方程表示什么图形,如果是圆,找出圆心和半径。 1、x2+y2-2x+4y+1=0 2、x2+y2+2by=0 例2．求过点，且圆心与已知圆相同的圆的方程。 方法一：利用配方法将其变成圆的标准形式，求出圆心后再求半径。 方法二：利用圆的一般方程方程形式求解，由于所求圆与已知圆是同心圆，故可设所求圆的方程为：，然后将M点代入，利用待定系数法求F。 设计意图：本题较简单，学生独立求解，然后教师点评。设计目的是让学生应用新知，巩固知识，强调圆的标准方程与一般方程方程的相互转化及二元二次方程表示圆的条件。同时也增强学生自信，提高兴趣。 例3．求过三点O 、M1、M2、的圆的方程，并指出圆心和半径。 设计意图：让学生通过自主解答，发现困难，教师适时引导，总结出用待定系数法求圆的一般方程的步骤。通过本小题进一步理解待定系数法这一思想。 注：用待定系数法求圆的方程的步骤： 1、根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较，1~若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单. 2~若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解 2、根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程； 3、解方程组，求出a、b、r或D、E、F的值，代入所设方程，就得要求的方程。 五：反馈练习，强化概念 教材80页，练习1、2、 六：课堂小节，形成体系 从知识与方法两个方面进行归纳。学生先归纳总结，教师补充强调 1．本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为，其特点是： 和的系数相同，且不等于0。 没有xy这样的二次项 以为圆心，为半径的圆。 2．圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较 若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单. 若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解. 3.本节课用的数学思想方法： 通过特殊认识一般的思想方法。 配方法(求圆心和半径).待定系数法求圆的一般方程 问题转化和分类讨论的思想、原则是不重复,不遗漏 六．作业布置： 教材85页A组1、2