《椭圆及其标准方程》教学设计

一、教材及学情分析

 1．《椭圆及其标准方程》是高中数学选修1-1（人教版）2.1.1中的内容，分三课时完成. 第一课时讲解椭圆的定义及其标准方程；第二课时讲解运用椭圆的定义及其标准方程解题，巩固求曲线方程的两种基本方法，即待定系数法、定义法；第三课时讲解运用中间变量法求动点轨迹方程的基本思路。 本节是第一课时.

    2．本节内容是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线的方程的概念有了一定了解，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。 椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础. 因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容之一。

3．运用多媒体形象地给出椭圆，通过让学生自已动手作图，“定性”地画出椭圆，再通过坐标法“定量”地描述椭圆，使之从感性到理性抽象概括，形式概念，推出方程。

二、教学目标分析

1. 知识与技能目标：

掌握椭圆的定义和标准方程；明确焦点、焦距的概念；理解椭圆标准方程的推导。

2. 过程与方法目标：

通过让学生积极参与、亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程；体验坐标法在处理几何问题中的优越性，从而进一步掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想，提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力。

3. 情感态度与价值观目标：

通过主动探究、合作学习，相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神。

培养学生自主学习的能力。以查找“神舟7号”有关材料，激发学生学习数学的兴趣，增强学生的数学应用意识、创新意识，扩展学生的数学视野，并让学生受到爱国主义思想的教育。

三、学习者特征分析

1．在此之前，学生已学过坐标法解决几何问题，学过圆的定义与标准方程，但掌握不够，

2．从研究圆到研究椭圆，跨度较大，学生思维上存在障碍.

3．在求椭圆标准方程时，会遇到比较复杂的根式化简问题，而这些在目前初中代数中都没有详细介绍，初中代数不能完全满足学习本节的需要。

4．该班学生是高二文科生，数学基础整体较差。

5．经过近一学期的引导、鼓励，学生学习数学的积极性较高。

四、教学策略选择与设计

1、教法设计：采用启发式教学，在课堂教学中坚持以教师为主导，学生为主体,思维训练为主线，能力培养为主攻的原则。

2、学法设计：自主探究，合作交流

    要求学生动手实验，自主探究，合作交流，抽象出椭圆定义，并用坐标法探究椭圆的标准方程，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。

3、教学手段：多媒体辅助教学.

    通过动态演示，有利于引起学生的学习兴趣，激发学生的学习热情，增大知识信息的容量，使内容充实、形象、直观，提高教学效率和教学质量.

五、教学资源与工具设计

1．多媒体教室

2．每个学生准备一段细线、两枚大头针或图钉

3．上网搜索有关神舟系列火箭运行轨迹图

六、教学程序

(一) 创设情景，提出课题

    Ppt图片（神舟）

问题1： “神舟7号”围绕地球运行轨迹是什么图形？

     (二) 自主探究，形成概念

问题2： 动点按照某种规律运动形成的轨迹叫曲线，那么椭圆是满足什么条件的轨迹呢？

    教师引导：要想知道椭圆是满足什么条件的点的轨迹，首先要知道椭圆的画法。于是让学生拿出课前准备好的一块纸板，一段细绳，两枚图钉，按课本上介绍的方法，同桌间相互磋商、动手绘图，教师巡视，并抽已完成的两位同学在黑板上用准备好的工具演示，使学生尝试到成功的喜悦.。教师进一步启发引导学生讨论，得出“到两个定点的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆”

[思考]

1. 在纸板上作图说明了什么？

2. 在绳长 (设为 2 a）不变的条件下，

（1）当两个图钉重合在一点时，画出的图形是什么？

（2）改变两个图钉之间的距离，画出的图形是什么？

      （3）当两个图钉之间的距离等于绳长时，画出的图形是什么？

      （4）当两图钉固定，能使绳长小于两图钉之间的距离吗？能画出图形吗？           

3．学生自己概括椭圆定义.

    定义 平面内与两个定点F1 、F2 的距离的和等于常数（大于 |F1 F2 | ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

    在归纳定义时，再次强调定义要满足三个条件：①平面内（这是大前提）；②任意一点到两个定点的距离的和等于常数；③常数大于 |F1 F2 |.

(三) 师生互动，导出方程

    给出椭圆的定义后，教师即可指出：由椭圆定义，知道了它的基本几何特征，这只是一种“定性”的描述，但是对于这种曲线还具有哪些性质，尚需进一步研究. 根据解析几何的基本思想方法，我们需要利用坐标法先建立椭圆的方程“定量”的描述，然后通过对椭圆的方程的讨论，来研究其几何性质.

问题3： 1. 求曲线方程的一般步骤是什么？

            2.  建立坐标系的一般原则有哪些？

    学生围绕以上问题思考，讨论可得：求曲线方程的一般步骤——建系、设点、写出点集、列出方程、化简方程、证明（可省略）. 建系的一般原则为：使已知点的坐标和曲线的方程尽可能简单，即原点取在定点或定线段的中点，坐标轴取在定直线上或图形的对称轴上，充分利用图形的对称性.

问题4： 怎样建立坐标系，才能使求出的椭圆方程最为简单？

    通过前面知识的回忆，学生思考、相互交流，很容易选定下列建立坐标系的方案.

1.    建系：以两定点F₁ 、F₂ 连线为 x 轴，以线段 F₁ F₂  的垂直平分线为y轴，建立坐标系，如图1

2.    设点：

设M ( x , y ) 为椭圆上任意一点，| F₁ F₂ | =2 c(c>0) ，则有F₁（－c, 0）、F₂ (c ,0). 又设 M与F₁ 和F₂ 的距离的和等于常数 2 a( a > 0 ) .

3、列出方程

到此为止，学生以为椭圆的方程已求出，此时教师可以指出：为了更进一步利用方程探讨椭圆的其他性质需要尽量简化方程形式，使数量关系更加明朗化.

4. 化简方程：学生对含有两个根式之和的等式进行化简有一定困难，采用以下方法突破难点：首先让学生明确，含根号的等式化简的目的就是要去掉根号，变无理式为有理式；启发学生，化简含两个根式之和的等式，只要将两个根式分别放在等号两边，其中一边只含一个根式，平方一次后即可转化为只含一个根式的化简问题.

教师引导学生化简，得到 (a ² － c ² ) x ² + a ² y ² = a ²  (a ² － c ² ) . 指出：此方程形式还不够简捷，还有变形的必要再简化。

先简化a²-c²，∵a>c,∴a²-c²>0,令a²-c²＝b²，则方程化为b²x²+a²y²=a²b²，联想到直线截距式方程，两边同除以a²b²得， （a>b>0）

指出：方程 （a>b>0）叫做椭圆的标准方程，此时，椭圆的焦点在x轴上，F₁(-c,0)，F₂(c,0),这里，c²=a²-b²

 问题5：如果焦点F₁ 、F₂  在 y 轴上，并且点O 与线段F₁ F₂ 的中点重合，a、b、c 的意义同上，椭圆的方程形式又如何呢？  

学生互相讨论，交流，合情猜想，动手验证可得（a>b>0）

指出：（a>b>0）叫做椭圆的标准方程，此时，椭圆的焦点在y轴上，F₁(0,-c)，F₂(0,c),这里，c²=a²-b²

为了加深对椭圆的两种标准方程的理解， 比较椭圆的两种标准方程，填表. （学生讨论回答，教师板书）

 

不同点	标准方程
	图形
	焦点坐标
共同点	定义
	a、b、c的关系
	焦点位置的判定

(四) 初步运用，强化理解

1. 判定下列椭圆的焦点在哪个轴上，并指明 a²，b² 和焦点坐标.

(1)         (2)

2．椭圆2x²－3y²＝1焦点坐标为                  

3．椭圆的焦距是       ，焦点坐标为               ；

若AB是过下焦点F₁的弦，则△F₁AB的周长是      

                                                            

(五) 自我评价，反馈调节

1．椭圆上一点P到焦点F₁的距离等于6，则点P到另一个焦点F₂的距离是  

2．动点P到定点F₁（－5，0），F₂（5，0）的距离的和是10，则动点P的轨迹为（    ）

（A）椭圆  (B) 线段F₁F₂  (C) 直线F₁F₂   (D)不能确定

3．简化方程：

4．椭圆mx²+ny²=－mn (m<n<0)的焦点坐标是      

（学生分组比赛，每组抽2位同学的作业用幻灯演示，教师订正。

 (六) 知识整理，形成系统（由学生归纳，教师完善）

     1. 椭圆的定义（注意定义中的三个条件）

     2. 椭圆的标准方程（注意焦点的位置与方程形式的关系）

     3. 解析几何的基本思想

(七)布置作业，巩固提高（学有余力的学生全做，其余学生不做探究题）

     1. 课本习题 p36练习第 1 、2、3题

     2. 课后探究题：将推导椭圆方程过程中得到的方程a²－cx=a变形为后观察式子的几何意义，提出合理猜想。