一元二次不等式及其解法的教学设计

                                             授课时间：2016年3月8日

                                             授课人：欧小燕

一．设计思想

教学设计应注重学生的主体地位,发挥教师组织和引导的主导作用，调动学生的主动性和积极性，使数学教学成为数学活动过程的教学，激发学生学习数学的兴趣。

本节课从实际问题入手，抽象出一元二次不等式模型，结合课件展示，先回忆初中相关知识，进而类比解决引入问题中的一元二次不等式，然后从特殊到一般深入探究，最后通过学生的合作交流总结解法，再以例题分析、变式训练方式加以巩固，让学生亲自体验探究的成果。

二．教材分析

    本节课内容的地位体现在它的基础性，作用体现在它的工具性。一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式和一元一次不等式组的延续和深化，对已学习过的集合、函数等知识的巩固和运用具有重要作用，也与后面的线性规划、直线与圆锥曲线以及导数等内容密切相关，许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法。因此，一元二次不等式的解法在整个高中数学教学中具有很强的基础性，体现出很大的工具作用。

三．学情分析

    学生在初中已经学习了一元一次不等式（组）和二次函数，对不等式的性质有了初步了解，在解决引入问题中的一元二次不等式时，学生可能会转化为不等式组求解，这种等价转化法非常好，应给予肯定和鼓励，但不在本节课学习之列。

四．教学目标

1、知识与技能

  （1）通过函数图像了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系；

  （2）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会写出其解集。

2、过程与方法

  （1）采用探究法，按照思考、交流、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学；

  （2）发挥学生的主体作用，做好探究性学习；

（3）理论联系实际，激发学生的学习积极性。

3、情感态度与价值观

   （1）通过利用二次函数的图像求解一元二次不等式的解集，培养学生数形结合的数学思想；

   （2）通过研究函数、方程、不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辩证的世界观。

五．重点与难点

重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合思想。

难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集之间的关系。

六．教学策略与手段

    采用探究与合作相结合的教学方式，进行启发式教学。

七．课前准备

1、学生预习“一元二次不等式及其解法”第一课时的内容；

2、教师认真备课，作好相关课件。                 

八．教学过程

本节课的教学框图如下所示：

 

 

 

1、从实际问题中，建立一元二次不等式模型（T：教师，S：学生）

 

T：学校准备在校园里铺甲乙两块草地作为小朋友的活动场所，其中甲草地准备铺成正方形，乙草地准备铺成长5米，与甲草地等宽，问甲草地边长为多少米时面积小于乙草地？

S：正方形边长不知道，可设为x米，那么乙草地的长为5米，宽为x米，那么甲草地的面积为 x²平方米，乙草地的面积为5x平方米。

T:非常好，那么甲草地的面积比乙草地小，能得到怎样的关系式呢？

 

师生活动：引导学生分析问题中的不等关系，由学生代表叙述观点，其他学生补充，教师板书解题过程，列出不等式。

 

T：不等式有什么特点呢？这一不等式有几个未知数，最高次是多少？

S：只有1个未知数，最高次是2次。

T：我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是ax²+bx+c>0 (a≠0) ，ax²+bx+c≥0 (a≠0) ，ax²+bx+c<0 (a≠0) ，ax²+bx+c≤0 (a≠0)及 ax²+bx+c≠0 (a≠0)，其中a，b，c均为常数。

 

注：从校园铺草坪的事例引入，贴进学生生活，利于激发学生的学习兴趣.既呈现由简单到复杂的数学思想，又进一步加深了学生对“数学源于生活”的认识。

 

2、类比一元一次不等式解法，进行探究。

 

T: 怎样求一元二次不等式 x²-5x ＜ 0的解集呢？看到这个不等式，你能想到初中哪些有关的知识呢？

S：积极讨论，回忆初中有关知识，回答问题。

T:意见整合，在初中，我们已经学习过一元一次方程和一元一次不等式，以及一次函数的有关知识，那么，这三者之间有什么关系吗？

师生活动：由教师演示制作的课件（如图1）引

导学生观察P点在直线上移动时，随着P的横坐标

的变化，P的纵坐标有什么变化，并得出以下结论：

（1）轴是一条分界线，一次函数与轴

的交点是分界点。

图1

（2）的解即为在轴上方的图象对

应的的范围；的解即为与轴交点的横坐标；的解即为在轴下方的图象对应的的范围。

（3）写出的解。

T：在这里我们发现一元一次方程、一元一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系，利用这种联系，我们可以快速准确的求出一元一次不等式的解集，类似地，我们能否对一元二次不等式的求解与二次函数联系起来讨论，从而找到其求解方法呢？

 

师生活动：先让学生分小组自主探究，推导结论，学生代表陈述推导过程，由教师演示课件（如图2），不断移动动P点，

引导学生完成以下问题：

（1）当为何值时，？

当为何值时，？

图2

当为何值时，？

（2）方程的解是        ；

不等式的解集是        ；

不等式的解集是        （解决了引入问题）.

注：结合课件演示，类比初中所学知识，联系学生的最近发展区，利于激发学生的好奇心和探究欲。

3、从特殊到一般，深入探究。

 

T：由一元二次不等式的一般形式可知，任何一个一元二次不等式，最后都可以化为ax²+bx+c>0 (a≠0) ，ax²+bx+c≥0 (a≠0) ，ax²+bx+c<0 (a≠0) ，ax²+bx+c≤0 (a≠0)及 ax²+bx+c≠0 (a≠0)，其中a，b，c均为常数的形式，而且我们已经知道，一元二次不等式的解与其相应的一元二次方程的根及二次函数图象有关，即由抛物线与轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集. 如何讨论一元二次不等式的解集呢？

    探究一元二次不等式的解集

由教师演示课件（如图3），上下移动P点，观察的值以及抛物线与轴相关位置，引导学生得出一元二次不等式的解集应分为三种情况讨论，并组织学生完成得到以下表格：

			图3

 

 

 

 

 

4、例题分析：解不等式 x²-3x-4 ＜ 0

  

师生活动：学生共同讨论解决问题的步骤，教师进行整理组合。

 

5、变式训练：解不等式-x²+3x+4 ＞ 0

 

T：对于二次项系数是负数的一元二次不等式，又应该如何求解呢？

S1：还是通过相应的二次函数图象来解。

T：这位同学说的很好！他抓住了应用“数形结合”思想求一元二次不等式的解集这一本质。还有其他方法吗？

S2：可以先把二次项系数化为正数，再求解。

T：非常好！由于我们对这一情况有了较详细的认识，因此把这一不熟悉的情况转化为这一已知情况，这样就变成了刚才例题的不等式了，这正体现了化未知为已知的数学思想。

 

注：从特殊到一般，化未知为已知，符合学生思维过程。

 

6、再次变形:求解不等式3x²+2x＞2-3x

 

T：对于这种不是一般形式的一元二次不等式应该怎么办呢？

S：先化为一般形式，再来求解。

T：非常好！对于非一般形式的一元二次不等式，我们先把它变为一般形式，然后利用图像来求解其解集。

 

7、小结提升:

 

师生活动：用简要的语句来概括求解一元二次不等式的步骤：

（1）化为一般形式，二次项系数化为正数；

（2）算，解对应方程；

（3）结合图象，写一元二次不等式解集（心中有图）。

 

注：小结提升使学生对前面所学知识有了更系统的认识，进一步明确了求解一元二次不等式的步骤。

 

8、运用成果，解决问题。

 

T:引导学生出题，先从简单的题型入手，让学生解题时易获得成功的快感，（本节课主要熟悉a＞0，△＞0的题型）然后由学生解答，让学生评讲的方式，让学生体验做小老师的乐趣。

S：很活跃，积极参与。

 

注：以学生出题学生解答，教师在旁引导的形式设计，不仅能让学生充分体验到自己的“劳动成果”，而且能帮助他们更深刻地理解如何求解一元二次不等式。

 

9、本节课课堂小结：（学生整理口述）：

1、一元二次不等式的定义；

2、一元二次不等式与一元二次方程、一元二次函数的联系.

3、一元二次不等式的解法及步骤；

 

 

 

 

九．板书设计

 

 

 

 

 

 

 

 

十．作业设计

完成课本第80页习题3.2A组1、（3）、（4）2、3题；

 

十一.教学反思

1、例题讲解时应该黑板板书解题过程。

2、课堂小结应该让学生自己进行总结。

3、作业设计应增加课后思考题，设计解集为R以及解集为的一元二次不等式题型，为下节课做好准备工作。

十二、问题研讨：

1、对一些同学提出的用等价转化思想求解一元二次不等式问题，应该解释到什么程度；

2、对二次项系数小于0的一元二次不等式求解问题是否应该详细归纳。