《专题:等腰三角形》
发布者：王相金 发布时间：2016-11-01 浏览数：0
《专题:等腰三角形》
教学目标：
1、掌握中考等腰三角形讨论的方法，并进一步选择合适的数学模型解题；
2、提高学生分析问题能力和解综合题能力；
3、体会分类讨论和数形结合等数学思想方法，懂得在生活中应多角度看待问题；
4、经历对中考数学综合题中等腰三角形讨论的过程，增强中考信心。
教学重、难点：中考数学综合题中等腰三角形的讨论方法
教学过程：
一、知识回顾：
1、等腰三角形的定义和判定；
定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形
判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.
2、等腰三角形的性质
性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；
性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合；
性质3 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的高所在直线。
二、基本题型：
1、如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C= ．
2、等腰三角形ABC中，∠A=80°，则∠B= °；
3、（2009湖北黄冈）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B等于_____________度；
练习：1、若等腰三角形腰上的高等于腰的一半，则顶角度数为 。
2、在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，则∠B= °；
（2）与边有关
1、等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm,则另两边长为 ；
2、若等腰三角形的两边的长是方程
的两个根，则此三角形的周长为 ；
练习：
1、若等腰三角形的三边长均满足方程x2－6x+8=0，则此三角形的周长为 ．
2、等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为_______________．
（3）与其他几何知识有关
1、（2012 湖北孝感）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36º，BD平分∠ABC交AC于点D．若AC＝2，则AD的长是（ ）
A． EQ \F( eq \r(5)－1 ,2) B． EQ \F( eq \r(5)＋1 ,2) C． eq \r(5)－1 D． eq \r(5)＋1
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D |
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C |
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A |
|
B |
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2题图 |
2、（2011四川凉山）如图，在
中，
，
，点
为
的中点， 
，垂足为点
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
3、（2011浙江杭州）在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC＝1，过点C作直线l∥AB，F是l上的一点，且AB＝AF，则点F到直线BC的距离为 ．
练习：1、（2012四川广安）已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=
BC，则△ABC底角的度数为（ ）
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A |
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D |
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E |
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B C |
2、（2009云南中考）如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC ＝ 5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
三、其他题型：
（1）作图题
1、（2009牡丹江）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以△ABC的一边为边在△ABC的外面画一个直角三角形，使整个图形成为一个等腰三角形．例如：图①．请在图②、图③、图④中分别画出一个符合条件的直角三角形，且三个图形中的等腰三角形各不相同，并在图中标出所画直角三角形的边长(不要求尺规作图)．
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A |
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B |
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C |
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3 |
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4 |
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A |
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B |
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C |
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3 |
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4 |
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A |
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B |
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C |
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3 |
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4 |
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A |
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C |
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B |
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3 |
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3 |
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5 |
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5 |
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4 |
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图② |
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图④ |
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图① |
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图③ |
2．(2012吉林长春) 图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．点A和点B在小正方形的顶点上．
（1）在图1中画出△ABC(点C在小正方形的顶点上)，使△ABC为直角三角形(画一个 即可)；
（2）在图2中画出△ABD(点D在小正方形的顶点上)，使△ABD为等腰三角形(画一个即可)；
（2）几何综合题
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A |
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D |
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C |
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B |
|
M |
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N |
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（第2题图） |
1、（2009济南）如图，在梯形
中，
动点
从
点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点
运动；动点
同时从点出发沿线段
以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为
秒．
（1）求的长．
（2）试探究：为何值时，
为等腰三角形．
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A |
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D |
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C |
|
B |
|
M |
|
N |
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（备用图） |
2、（2008宁夏）如图，在边长为4的正方形
中，点
在
上从
向运动，连接
交
于点
．
（1）试证明：无论点运动到上何处时，都有△
≌△
；
（2）当点在上运动到什么位置时，△的面积是正方形面积的
；
（3）若点从点运动到点，再继续在
上运动到点，在整个运动过程中，当点 运动到什么位置时，△恰为等腰三角形．
练习：（2009江西）如图1，在等腰梯形中，
，是
的中点，过点
作
交于点
．
，
.
（1）求点到的距离；
（2）点为线段
上的一个动点，过
作
交于点，过作
交折线
于点，连结
，设
.
①当点
在线段
上时（如图2），
的形状是否发生改变？若不变，求出的周长；若改变，请说明理由；
②当点在线段
上时（如图3），是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的
的值；若不存在，请说明理由.
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图2 |
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A |
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D |
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E |
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B |
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F |
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C |
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P |
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N |
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M |
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图3 |
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A |
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D |
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E |
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B |
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F |
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C |
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P |
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N |
|
M |
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A |
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D |
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E |
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B |
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F |
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C |
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图1 |
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（第2题） |
（3）代数综合题（在平面直角坐标系中）
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O |
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C |
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x |
1、（2010辽宁锦州）如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＞x2，与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x 2－2x－8＝0的两个根．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形，若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2、（2012新疆）如图，在直角坐标系中，已知△AOC的两个顶点坐标分别为A（2，0），C（0，2）．
（1）如图，已知D（
，0），过A，C，D的抛物线与（1）所得的四边形OABC的边BC交于点E，求抛物线的解析式及点E的坐标；
（2）在问题（1）的图形中，一动点P由抛物线上的点A开始，沿四边形OABC的边从A﹣B﹣C向终点C运动，连接OP交AC于N，若P运动所经过的路程为x，试问：当x为何值时，△AON为等腰三角形（只写出判断的条件与对应的结果）？
练习：1.（2012大庆）如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
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x |
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O |
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B |
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P |
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C |
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A |
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2、（2012四川凉州）如图，在平面直角坐标系中，直线
与轴、
轴分别交于、两点，抛物线
经过、两点，并与轴交于另一点（点点的右侧），点是抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式及点的坐标；
（2）若点P在第二象限内，过点P作
轴于，交于点。当点运动到什么位置时，线段
最长？此时等于多少？
（3）如果平行于轴的动直线
与抛物线交于点，与直线交于点，点为
的中点，那么是否存在这样的直线，使得
是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
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O |
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C |
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x |
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Q1 |
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Q2 |
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Q4 |
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Q3 |
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Q5 |
四、归纳小结
1、几何问题中的等腰三角形问题一般分三种情况讨论：三边中任两边相等．
2、在平面直角坐标系中的等腰三角形问题一般分两种情况讨论：已知两点构成的线段是作为腰还是底边（如图） ．