“课改”的关键是改变学生的学习行为，而关键的关键是改善教师的教学行为。没有教师教学行为的改善，不可能有学生学习行为的改变。
一．不要培养恨数学的人，让学生喜欢你的课
我经常这样告戒自己。
我以为，是数学教师使学生恨数学的。
我收集到了一些证据。有一些题目很刁钻，考细枝末节，犄角旮旯，考技巧。比如：
1．设f（x）＝的最大值是M，最小值是m，求M＋m。
2．f（x）是（0，＋∞）上的减函数，f（x＋y）≤f（4），求x2＋y2＋2x＋2y的最小值。
这些题目都是高手想出来的。
最近，一个高一学生来问我一道题：“求y＝log2（2x2－3x＋1）的单调区间。”
她说，老师在课上讲了，还是没听懂。我问她，老师在这之前还讲过类似于这样的题吗？她说：没有。
在学生初学函数、对数函数，没有学习过一元二次不等式的情况下老师讲这样的题，结果只能促使学生对数学产生畏惧心理，挫伤了学生学习数学的积极性。
一份试卷的均分不及格，教师又做了一次动员学生恨数学的事。
到底是谁不及格？
教之道在于度！
如果由于我的教学使学生恨数学了，那我一辈子都干了些什么？多教一个学生，这个世界上就多一个恨数学的人，少教一个学生，这个世界上就少一个恨数学的人。人生的价值成了什么？
你喜欢数学吗？你不喜欢数学就无法让学生喜欢数学。如果你喜欢数学，那为什么要把学生弄得恨数学呢？
让学生喜欢你的课，盼着你这个老师来上课，应该成为我们的追求。
去年，毕业20年回学校的一个校友对我说，是你教数学使我喜欢上了数学。
怎样让学生对你的教学感兴趣？
例1勾股树——勾股定理的教学。
例2一个轨迹问题——椭圆概念的运用。
创设有利于引起学生兴趣的情境，改变教学内容的呈现方式；逻辑性强的问题可以引发求知心理（如统计内容的逻辑性）；让学生感受到所学内容的必要性（如概念产生的必要性）；通过矛盾引发认知冲突（虚数的产生）；一些具有挑战性的问题常常让人欲罢不能（一张纸如果折叠100次该多厚）；设置悬念，让学生先猜一猜，想一想，不要轻易“捅破窗户纸”（转动的正方形）等等。
学生对你教的这门课有兴趣，课后就乐意做课外练习、看课外书、思考与这门课有关的问题，甚至将来走上了研究这门科学的道路。
有人说，好的教师不是在教数学，而是能激发学生自已去学数学。教学的目的是引导学习。
有人认为，激发学习兴趣是教学的第一“公理”，是教学的“不变量”。
“知之者不如好知者，好知者不如乐知者。”（孔子《论语·雍也》）只有学生“乐学”，才会主动地学。
还有，关心学生，让学生喜欢你这个人。今年教师节学生给我发了一张《优秀教师合格证书》，还说了一大堆理由。
让学生喜欢你这个人，喜欢你上的这门课，喜欢你来上课。
二．是谁在学习？数学学习是怎样进行的
我认为，从一个优秀的大学毕业生到一个合格的教师，琢磨学生是怎样学习的，怎样改变知识结构、发展认识能力的十分重要，也就是了解一些认知心理学的知识非常重要。
是谁在学习？你的回答肯定是正确的。问题在于，许多时候我们忘记了这一点。
把这一点想清楚，很多事就知道该怎么办好。
造成教学质量低的原因很多，忘记“是谁在学习”是其中之一。
我以为，经常想一想“体育老师是怎样上课的”，很有好处。至少我经常这样想。你见过体育老师说“同学们站好，我在跑道上跑五圈给你们看看”吗？没有。而“在跑道上跑五圈”给学生看看的数学教师并不缺少。体育老师很清楚，要让学生锻炼身体，要增强学生的体质。
有的老师说：“我都已经讲过n遍了，他们怎么还没有学会？”这正说明，他们要学会不是光靠你讲。
下面的一些话我们应该耳熟能详。
陆游说：“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。”
不是自己的知识是无用的知识。你对数学知识掌握得再好，如果不能成为学生的，那么，对于学生来说就是无用的。
带着对数学学习本质的认识来设计你的数学教学。
学习是学习者自己的感受、体验和思考、感悟，是任何其他人都代替不了的。让学习者亲自动手、动口、动脑，亲自去做。“饭要亲自吃，觉要亲自睡”。
没有学习者的体验、感悟的概括是无效的概括。这样的教学是无效的教学。
有一次，一位老师来校试讲，内容是“平均变化率”．他先举了三个例子，有反映温度变化快慢的，有投资效率的，有反映运动速度的，等等．形式上也注意图形、表格、表达式兼顾．然后就告诉学生，象这几个例子那样，在数学中就称为“平均变化率”，给出平均变化率的概念，然后就是计算平均变化率的练习．教师可能认为，我已经把这个概念告诉你了，你该知道了．但是，数学教学不是“告诉教学”，概念不能靠学生“复制”，概念需要的是理解．
一定要让学生参与举例，参与概括，参与定义，参与对原理的解释。（比如，平均变化率的概括，数列的概念，倾斜角的定义，数学归纳法的解释）
只有设法使学生卷入其中，强化亲身体验，启发内心感悟，激发心理共鸣，才能真正转化为认识客观规律、解决实际问题的强大武器。
经常想一想，学生离开你怎么办？
外因只有通过内因才能起作用。在教与学的问题上，教师永远是外因。
下面的一些教学行为是需要改善的。
抢学生的话头，打断学生的发言，代替学生讲，代替学生写，代替学生想。剥夺学生锻炼的机会。
不愿留给学生思考的时间。学生的观察、思考尚未开始（或者刚刚开始），教师就开始提问，或者自己“分析”起来。
学生讲，教师写，当学生的“秘书”。为什么不让学生自己讲，自己写。即便暂时不会，写不出来，那就待会写的时候再来写。
要多让学生发表意见，在关键点上让学生有机会提出自己的见解。教师多听少讲，参与到学生的活动中去。
学习是一个循序渐进的过程，从初步了解，到理解，到掌握，到运用，到灵活运用有一个比较长的过程。初学阶段，就要求会做综合性强的题，不妥，也没有必要。而初学阶段就对能力要求过高，对知识运用的要求过高是普遍现象。（如刚学习过对数函数就要求学生做“求y＝log2（x2－3x＋1）的单调区间”这样的题目。）当学生做不出来的时候教师总是埋怨学生，却不主动检查自己。那能“一口吃成了胖子”，“一锹挖个井”？
比如，这样的题目“求证函数f（x）＝－x3＋１单调减”不会做，就不能完全认为是函数的单调性学得不好。卡在对x13－x23的因式分解以及对代数式x12＋x1x2＋x22的变形以说明它是正数的处理上。
集合部分的教学4个课时是够的（我只用了4个课时）。许多老师都跟我说“课时不够”，我以为其中一个原因就是，以集合为载体增加了许多东西（解一元二次不等式，或者解分式不等式，比较复杂的带参数问题的讨论等等，集合成了个“面子”），或者用于说明集合概念、运算的问题背景太复杂。高一初学集合时没这个必要。
弗赖登塔尔认为，数学教育方法的核心是学生的再创造。教师应该创造合适的条件，让学生在学习数学的过程中，用自己的体验，用自己的思维方式，重新创造有关的数学知识。
奥苏伯尔认为，学生有意义的接受学习，并不是将现成知识简单地“登记”到原有认知结构中去，而是要经过一系列的积极的思维活动。因此，有意义接受学习是一个主动的过程。
可见，有意义的学习不是一个被动接受知识、强化储存的过程，而是用原有知识处理各项新的学习任务，通过“同化”和“顺应”等心理活动和变化，不断地构建和完善认知结构的过程。
三．必须培养学生主动学习的习惯
我们学校的校长提出，要培养将来社会领跑的人？
什么样的人将来能够领跑呢？
一个等待他人布置任务才知道有事干的人，不会成为领跑的人；一个人云亦云、不愿意独立思考的人不会成为领跑的人。
要让我们的学生将来成为领跑的人，就必须培养他们学会自己制定学习计划，自己安排学习生活，而不仅仅是等老师来布置学习任务。
要学生自己安排学习生活，我们就应该给学生一些自主安排的时间以及作出必要的指导。比如，能否多安排一些自习课。
南京师大附中学生的特点是：会自己找事干。
要逼着学生主动学习。因为，主动学习是有效的学习。
写完题目，闭你的上嘴！
学生思考需要安静的环境。
不要帮学生读题目。留下让学生思考的时间，待学生有了自己的思考后再组织交流。
“头发”与“脸庞”你要哪一个？写完题目，转过身子，你看到的应该是头发，而不是等待你告诉答案的脸庞。
“合作交流”在当前的课堂教学中很时髦，但是数学学习首先提倡独立思考。
张奠宙先生、赵小平先生在文章中说：数学不同于其他学科，需要进行逻辑化、符号化、数量化，其过程必定经历独立的、个性化的思考，因此，在“合作”之前必须先“独立”。
文章中还说：“我们应该用自己的眼睛看合作学习，研究怎样合作才有效？怎样合作则无效？但没有人研究过，只是听别人说，把别人说的话当绝对真理。”（见《数学教学》2007年第6期，“用自己的眼睛看课堂”一文。）
因为指导青年教师的缘故，现在，我给青年教师提出的教学的基本过程是：提出问题——留下时间，让学生自己想一想、画一画、做一做（先尝试着自己解决）——组织交流（上讲台讲，上黑板写，提问）——挖掘解决问题背后的思维过程（问一问“你是怎么想到的？”“你凭什么这么说？”）——归纳、小结，形成共识，形成结论，这样五个步骤。企图“先有形后无形，从有招到无招”。
有人说“告诉学生3×5＝15不是数学教学，问学生3×5等于几是数学教学”，就是指，让学生先想一想，自己去获得结论。
数学特级教师邱学华先生（常州）的“尝试教学法”只有四个字“先练后讲”。你先试试，不会的我再讲，你会了我还要讲什么呢？
启发要恰时恰点。打个比方，请学生到火车站去买张火车票。任务提出后，让他去设法完成（步行，骑车，坐公交）。他若向北走，你就启发一下，火车站在南面（让他自己发现火车站在南面更好）。而实际的做法是，你拉着他的手，一起去火车站。
皮亚杰认为，认知发展的一个最主要的方面是儿童的能动作用，是认知主体的主动建构。
指导学生指定学习计划，指导学生学会组织学习。应该经常检查学生学习计划的制订。
四．教会思考，教会学习
教什么比怎样教更重要。
到底要教学生什么？首先是教数学，教数学知识，这是毫无疑问的。但是“授人以鱼，不如授人以渔”，要教学生学会思考，学会想问题，学会研究问题，学会学习数学。
解题教学是数学教学的内容之一。
●教会思考——解题教学必须做的事。
我以为，研究怎样解题，让学生学会分析问题，学会跟数学题打交道的招招式式，掌握解题规律，可以少做些题，也能学好数学。
减轻学生过重的课业负担，我们可以有所作为。
建议大家看一看数学世界名著——乔治·波利亚的《怎样解题》、《数学的发现》。
在《数学的发现》（第二卷，刘景鳞，曹之江，邹清莲译。内蒙古出版社。1981年第一版）中，波利亚前后花20多页（32开），1万多字说了一道题：
给定棱台的高h，上底的一条边长a和下底的一条边长b，求正方棱台的体积F。
相信你看了之后一定会对解题教学的认识有极大的提高。
例1在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A＝{（x，y）|x＋y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B＝{（x＋y，x－y）|（x，y）∈A}的面积是（）
（A）2（B）1（C）（D）
拿到题目要讲“老虎吃天从何下口？”
长话短说，至少做到九个字“有什么”、“干什么”、“怎么干”。
干什么？
（1）集合B所表示的区域是什么？
也就是点M（x＋y，x－y）在哪里？
（2）设x＋y＝u，x－y＝v．点M（u，v）在哪里？
有什么？
（3）条件有几个？数一数！3个！
（4）x≥0，y≥0，x＋y≤1还告诉你什么？
怎么干？
u＋v＝2x，u－v＝2y．
怎么知道要算u＋v，u－v的呢？用条件x≥0，y≥0呀．
（5）u＋v≥0，u－v≥0，0≤u≤1，在直角坐标系uOv中所表示的区域在哪里？
弄清“此岸”、“彼岸”，再考虑是“架桥”还是“找船”。
有人说，差的教师做给学生看，好的教师“想给学生听”。
埋头解题是非常有害的．解题训练不等于思维训练．
只有当学生掌握了与数学题打交道的招招式式，掌握了解题规律之后，才能见到题目不害怕，从容面对。
许多时候，题目做不出来的原因是习惯不好，不会（逻辑地）思考，该做的事没做。比如，条件有哪些？你清楚吗？要干什么？你知道吗？条件与结论的差异在哪里？（解题的过程也是缩小差异的过程）等等。
只有教师解题教学的行为的改变，才可能改变学生的解题行为。
教师要关注学生的解题行为。比如，他们花多少时间读题？他们经常画图吗？
为结果而教（甚至追求结果），忽视过程的教育价值，仍然是当前教学中的普遍现象。
如果从“结果”这个意义上讲，点到直线的距离公式的教学，诱导公式的教学都可以简略。而这些内容的教学承载着数学方法。
没有过程，没有学生自己的亲身体验、感受、概括，就不可能领悟数学思想，掌握数学方法。数学思想、数学方法都不是靠教师告诉的。
我曾经跟高三的老师调侃：“你讲的那道题不会做看来不行，但是，会做又怎么样呢？”你一定会说：“阴阳怪气，你是什么意思？”我的意思是，不要仅要获得结果，还要追求获得结果产生的过程，尤其是思维过程，一定要反思，反思解题过程（分哪几个层次？条件用哪了？方法的评价，等等），解一道题就真正发挥一道题的作用，在“质”上下工夫，而不仅是数量。
解题教学不等于思维教学，解题训练不等于思维训练。
●必须把思维教学落到实处。
链接：数学教学是思维的教学。
有些学生误认为，学好数学就是拼命做题。学好数学必须多解题，这并不错。训练是十分必要的，但傻练不是科学训练。
解决问题，更要研究问题。
要重视获得结果的过程的教育价值（哪怕是失败的）；一定要反思、回顾，关注“算法”，帮助学生提炼，画龙要点睛，找出万变不离其宗的东西（减轻负担的途径之一）。掌握方法，领会思想（尤其是思想方法），积累经验，把解决问题的原理交给学生。
经常问一问“你是怎么想到的？”“你凭什么这么说？”挖掘解题背后的思维过程。
数学是思维科学，数学教学是思维教学。
只有把思考当乐趣的人才能学好数学。
思考是数学学习的核心。没有思考就没有真正的数学学习。要学生学会思考，教师更要深入思考。
多采用变式教学（概念变式，问题变式），开放问题，给学生提出问题以示范，给学生以提出问题的机会，教学生自己提出问题，真正使学生的思维能力得到发展。
链接：孙居国的课（图）。
在棱长为1的正方体中，棱长为1，E、F分别是A1D、AC上的
点，并且＝，＝λ。问题：
①当λ为何值时，EF//D1B；
②在①的条件下，EF与AC有何关系；
③当λ为何值时，EF//面 D1DCC1。
●把研究问题的方法交给学生。
在由指数函数产生对数函数之后，我问：我们应该怎样来研究这个对数函数，先列个计划。
经过交流，大家认为，应该：
先定义域，然后再画图象，接着是值域，奇偶性，单调性，图象是否过什么定点，等等。
“学会运用函数的图象理解和研究函数的性质。”（《课程标准》语）
教“学”，包含教学生“会学”。
然后各自去研究。叫4人板演。
他们还研究了其它性质（都是与指数函数过来的）。如
（1）函数y＝logax的图象与函数y＝log x的图象关于x轴对称。为什么？他们给出了两种理由。
（2）在x轴上方，对数函数y＝logax的图象自左而右底数a越来越大。他们也说出了两种理由。（因为在x轴上边，对数函数y＝logax的图象自左而右，底数a越来越大。或者画直线y＝1，真数等于底数，更明显）。
（3）当a＞1时，若x＞1，则y＞0；若0＜x＜1，则y＜0。
当0＜a＜1时，若x＞1，则y＜0；若0＜x＜1，则y＞0。
（4）对数函数y＝logax的图象与指数函数y＝ax的图象关于直线y＝x对称。（暂时不要求证明“为什么”）等等。
你们是怎么研究的？了解解决问题的过程。
归纳得到：一方面，紧紧抓住与指数函数的关系，另一方面，利用对数的性质，对获得的结论加以解释。
让学生亲自去做，“去跑5圈”。
教师越俎代庖的事做得太多。而“学生力所能及的事让学生自己去做”是教学的一条基本原则。
哪些是该教师做的，哪些应该让学生去做？要想清楚。教师主导在哪里？
然后再提出对数函数是指数函数的反函数。再问“反在哪里？”因为此刻他们已经有了许多关于“反”的体验，给出反函数的意义就顺理成章，“自然流淌”。关键是感受、体验，而不是为了名称。名字在孩子诞生之后在起。
再比如，平均变化率的概念。
平均变化率主要是因研究变速运动在某一个时刻的瞬时速度而引起，是变化率的近似表示．是对平均速度，气球平均膨胀率，婴儿体重变化快慢，等等不同的事例的平均变化率抽象概括．就是由，，抽象出来．这是数学的特点，由具体到抽象，由特殊到一般．再加上几何直观，学生很容易理解．教学重心不是会计算平均变化率，40分钟当中有几分钟就够了．
教学中，不重视基本概念的教学也是普遍现象。而
数学玩的是概念，不是技巧。——中国科学院院士李邦河
要让学生学会学习，就要让学生参与教学过程。参与概念的定义过程，参与数学意义建构的过程，参与思路寻找的过程，参与解题策略制订的过程……经历科学研究的一般过程，掌握科学研究的一般方法，学会研究问题，学会学习。
这是因为，在学校所学习的内容始终落后于社会的发展。学生走上社会靠什么生存？就是“会学习”。会学习新的知识，会掌握新的技能。培养会学习的能力十分重要。这样，学生离开了学校，离开了老师，面对新的环境，新的知识，由于会学习，就会很快适应新的环境。"国际21世纪教育委员会"向联合国教科文组织提出，把“学会认知、学会做事、学会合作、学会生存”作为教育的四大支柱。
●让学生参与概念的定义过程，让学生经历“再创造”。
凡是讲概念，都必须讲必要性、合理性。让学生感受必要性，可以产生求知欲，增强学习的积极性；让学生参与定义，感受概念定义的合理性。
链接：倾斜角的定义过程。
●孔子的启发式仍然是最好的教学方法。
孔子的启发式教学只有八个字："不愤不启，不悱不发。"(《论语· 述而》)就是通过问题把学生引入“愤”、“悱”境地，经过学生自己的思考与教师的启发，弄清问题，形成新的知识结构，提高认识能力。
经过圆的弦的中点的直径垂直于弦，这个结论在椭圆中会怎样呢？
学习的过程就是一个不断地提出问题、解决问题的过程。
以“问题链“的方式组织教学内容，是比较好的教学方法。
数学教学应当从问题开始。上课开始，莫过于提一个问题。
在教学中，教师最主要的任务之一就是提出问题，以及引导学生提出问题。
教师最重要的也是最困难的，就是“提——好问题”与“提好——问题”。捕捉来自学生的问题更是一件困难的事情。要练好基本功。
●正确认识“教学任务”。
毫无疑问，每一堂都应该有教学目的、要求，有教学任务。
什么是“教学任务”？除了数学知识的教学任务之外还有能力培养的任务，除了显性任务之外还有隐性任务。尤其要注意“育人”这个大目标，而不能仅关注“知识”这个目标。
教学是一个动态生成的过程，有的事课前没有估计到但课堂上发生了，有的事课前有准备而课堂上并没有发生。在“预设”与“生成”发生矛盾的时候，我会毫不犹豫地选择“生成”，只要对发展学生的知识、能力有利。比如，在函数概念教学中，同学们在“射击时脱靶是否有成绩”上发生争论，而它的讨论，对认识概念中的关键词“每一个”、“唯一确定”很有意义，这样的讨论值得。
在讨论、交流活动中，同学们边讲边想，边想边讲，训练了思维，学会了概括，加深了对知识的理解，又培养了说理、表达的能力，还学会了倾听，学会了尊重，身心健康得到发展。
教学越民主，越尊重学生认知过程的课堂，“教学任务没有完成”的事就越容易发生。
为了某些知识目标暂时不能达成而赶“任务”，中断有意义的活动，那才得不偿失。
五．正确使用提问与板演这两个教学手法
怎样使学生参与教学过程，也就是用什么办法让学生来参与、感受、体验？要研究教学方法。
●正确使用“提问”这一教学方法。
提问是教师组织下的全班的教学活动。是教师与全体同学的交流，不是两个人之间的对话。当然也有学生与学生之间的交流。
提问后，要舍得留下学生思考的时间。要鼓励学生独立思考，也可以合作、交流，以便回答老师的问题。教师提出问题后不要滔滔不绝，启发个不停，打搅别人的思考。
不要一旦有人举手就请他来回答，让知道的告诉还不知道的，代替教师来告诉。否则，会遮盖其他学生还不会的真实情况。在多数同学还没有得到认真思考，还没有结果的情况下更不能这样做。
教师要耐心倾听学生的回答，让人完整地表达意见，让人把话讲完。不要发现他的意见与自己的“预设”相左就不高兴。甚至打断他的发言，把教师的想法强加于他，强加于全体同学。
要尊重学生的思维过程，尊重他们的思维特点。
待他说完了后问：“你说完了吗？说完了请坐下。”学生说完后，面向全体问“大家都听清楚了吗？”“你们有什么不同意见，需要补充的吗？”等等，组织交流。教师不仅自己要注意听，还要关注其他学生是否都在注意听他讲。
问题应该有一定的思维价值。不能变“满堂灌”为“满堂问”。不需要问的教师就自己讲，并且讲好它。
●正确使用“板演”这一教学方法。
南京市教学研究室原主任特级教师王永健先生（今年有80岁了）说：解放后，我在南京市第一女子中学教书，这所学校的前身是一所教会学校．学校教室四面都有黑板，这些黑板不是为出黑板报用的，而是为了让学生上黑板练习用的，一堂课可以让两三批学生上黑板，每批七八人，加起来有半数左右学生有练习的机会。（见2005《数学通报》第5期，我对“精讲多练”的理解”）
板演就是学生在黑板上做练习。显然，板演的人多一些好，而不是一两个。这样，教师可以通过学生的板演了解学生学习的情况，以便调整教学策略。
让大家都来评价板演，来“当老师”，自己教育自己。
在教师的引导下，对板演做出小结，形成共识，实现教学目的。
教师要注意利用板演，利用“生成”，作为教育的材料，进行再教学。
2015年