导数在函数单调性的应用

发布者：陈世义     所属单位：阳新县附属学校     发布时间：2016-10-20    浏览数：0

1.3.1函数的单调性与导数（一）

一、教学目标：了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方法.

二、教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性.

教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性.

三、教学过程

（一）复习引入

1．增函数、减函数的定义

一般地，设函数 f(x) 的定义域为I：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量x₁，x₂，当x₁＜x₂时，都有f(x₁)＜f(x₂)，那么就说 f(x)在这个区间上是增函数．

当x₁＜x₂时，都有f(x₁)＞f(x₂)，那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数．

2．函数的单调性

如果函数 y＝f(x) 在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数 y＝f(x) 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做 y＝f(x) 的单调区间．

在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．

例1讨论函数y＝x²－4x＋3的单调性．

解：取x₁＜x₂，x₁、x₂∈R，                    取值

f(x₁)－f(x₂)＝(x₁²－4x₁+3)－(x₂²－4x₂+3)        作差

＝(x₁－x₂)(x₁＋x₂－4)               变形

当x₁＜x₂＜2时，x₁＋x₂－4＜0，f(x₁)＞f(x₂)，   定号

∴y＝f(x)在(－¥, 2)单调递减．               判断

当2＜x₁＜x₂时， x₁＋x₂－4＞0，f(x₁)＜f(x₂)，

∴y＝f(x)在(2, ＋∞)单调递增．综上所述y＝f(x)在(－¥, 2)单调递减，y＝f(x)在(2, ＋∞)单调递增。

能否利用导数的符号来判断函数单调性？

 

 

 

 

 

一般地，设函数y＝f(x)在某个区间内可导，

如果f(x)'＞0，则f(x)为增函数；  如果f(x)'＜0，则f(x)为减函数．

例2．教材P24面的例1。

例3．确定函数f(x)＝x²－2x＋4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数．

解： f(x)'＝2x－2． 令2x－2＞0，解得x＞1．

因此，当x∈(1, +∞)时，f(x)是增函数．

令2x－2＜0，解得x＜1．

因此，当x∈(－∞, 1)时，f(x)是减函数．

例4．确定函数f(x)＝2x³－6x²＋7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数．

解：f(x)'＝6x²－12x．

令6x²－12x＞0，解得x＜0或x＞2．

因此，当x∈(－∞, 0)时，函数f(x)是增函数，

当x∈(2, ＋∞)时， f(x)也是增函数．

令6x²－12x＜0，解得0＜x＜2．

因此，当x∈(0, 2)时，f(x)是减函数．

利用导数确定函数的单调性的步骤：

(1) 确定函数f(x)的定义域；

(2) 求出函数的导数；

(3) 解不等式f ¢(x)＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f ¢(x)＜0，得函数的单调递减区间．

练习1：教材P24面的例2

利用导数的符号来判断函数单调性:

设函数y＝f(x)在某个区间内可导

(1)如果f '(x)＞0 ，则f(x)为严格增函数； (2)如果f '(x)＜0 ，则f(x)为严格减函数．

思考：（1）若f '(x)＞0是f(x)在此区间上为增函数的什么条件？

若f '(x)＞0是f(x)在此区间上为增函数的充分而非必要条件．

例如  f(x)＝x³，当x=0，f '(x)=0，x≠0时，f '(x)>0，函数 f(x)＝x³在(－∞,＋∞)上是增函数．

（2）若f '(x) ＝0在某个区间内恒成立，f(x)是什么函数 ？

若某个区间内恒有f '(x)＝0，则f (x)为常数函数．

练习2. 教科书P.26练习(1)

（三）课堂小结

1．判断函数的单调性的方法； 2．导数与单调性的关系；  3．证明单调性的方法.

（四）作业《习案》作业七