课题：直线和平面所成的角

一、复习提问

一）直线和平面的位置关系有哪几种？

P

O

A

O

A

二）平面的斜线及斜线在平面内的射影的定义：

平面的垂线：垂直于平面的直线。

平面的斜线：与平面相交但不垂直的直线。

射影：过垂足和斜足的直线叫做斜线在平面上的射影。

二、问题引入：

 若直线与平面相交，则这条斜线和这个平面内任一直线所成的角中最小的角是哪一只？

三、重要结论：

平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一直线所成的角中最小的角.

四、直线和平面所成的角

一）斜线和平面所成的角的概念

            一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角

二）规定：

（1）如果直线和平面垂直，就说直线和平面所成的角是直角.

（2）如果直线和平面平行或在平面内，就说直线和平面所成角是的角.

强调：  直线和平面所成的角的范围是： .

三）线面角求法：直线与平面所成的角，一般先确定直线与平面的交点（斜足），然后在直线上取一点（除斜足外）作平面的垂线，再连接垂足和斜足（即得直接在平面内的射影），最后解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形，求出直线与平面所成的角。

步骤：“一作”、“二证”、“三解”；

关键：确定斜线在平面内的射影；

思考：两条直线和一个平面所成的角相等，这两条直线一定平行吗？

 

五、例题精讲：

D

C

B

C

A

D

 例1：在单位正方体中，试求直线与平面所成的正弦角.

      

 

 

 

 

 

 

C

A

B

A

1

B

1

D

1

C

1

例2：在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，求：

直线A₁B和平面A₁B₁CD所成的角；

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例3．已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，

且，，

求直线与平面ABCD所成角；

 

 

 

 

 

 

 

B

C

D

例4：求正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值。

 

 

 

 

 

 

 

六、课堂小结：

 一）直线和平面所成角的定义及其合理性.

 二）初步掌握求直线和平面所成角的方法步骤：

①作（找）出角；②证明（认定）角；③（在三角形中）求出角.