数列求和教学设计与反思

1.   情境创设与反思

1.1 情境设计片断

情境1: 某种细胞进行细胞分裂,已知每个细胞每分钟分裂为2个,那么某一个细胞1小时后分裂的细胞个数总和是多少呢?

情境2:国际象棋起源于古代印度,关于国际象棋有这样一个传说:国王要奖赏国际象棋的发明者,问他想要什么.发明者说:“陛下,请您在这张棋盘的第一个小格内,赏给我一粒麦子,在第二个小格内给两粒,第三格内给四粒,依次类推,每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍,直到第64个格子为止.把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒,都赏给您的仆人吧.”国王觉得这并不是很难办到的事,就欣然同意了他的要求.你认为国王应该给发明者多少粒麦粒呢?国王有能力满足发明者的要求吗?

情境3:一个穷人到富人那里去借钱,原以为富人不愿意,哪知富人一口答应了下来,但提出了如下条件:在30天中,富人第一天借给穷人1万元,第二天借给穷人2万元,以后每天所借的钱数都比上一天多一万;但借钱第一天,穷人还1分钱,第二天还2分钱,以后每天所还的钱数都是上一天的两倍,30天后互不相欠.穷人听后觉得挺划算,本想定下来,但又想到此富人是吝啬出了名的,怕上当受骗,所以很为难.请在座的同学思考一下,帮穷人出个主意.

情境4:某公司由于资金短缺,决定向银行进行贷款,双方约定,在3年内,公司每月向银行借款10万元,为了还本付息,公司第一个月要向银行还款10元,第二个月还款20元,第三个月还款40元,……,即每月还款的数量是前一个月的2倍.请问:假如你是公司经理或银行主管,你会在这个合约上签字吗?

情境5:周末,王明去表弟家作客,表弟给王明出了一道难题:从今年起,他每年年初存100元,直到第十年底一并取出,一共是多少元?(年利率0.05).王明想,只要算出每年存入100元本利和,然后再求和就行了,于是他拿笔列式计算:

第一年初存入100元到第十年底取出的本利和为:100(1+0.05)¹⁰,

第二年初存入100元到第十年底取出的本利和为:100(1+0.05)⁹,

 ……,

第十年初存入100元到第十年底取出的本利和为:100(1+0.05),

一共有:S=100(1+0.05)+100(1+0.05)²+…+100(1+0.05)¹⁰.

王明发现借助计算器能计算出S的值,但非常麻烦、费时,他感到束手无策了.今天,我请同学们一起来帮助王明解决这一难题.

情境6:话说猪八戒自西天取经回到了高老庄,从高员外手里接下了高老庄集团,摇身变成了CEO.可好景不长,便因资金周转不灵而陷入了窘境,急需大量资金投入,于是就找孙悟空帮忙.悟空一口答应:“行！我每天投资100万元,连续一个月(30天),但是有一个条件是:作为回报,从投资的第一天起你必须返还给我1元,第二天返还2元,第三天返还4元……即后一天返还数为前一天的2倍.”八戒听了,心里打起了小算盘:“第一天:支出1元,收入100万;第二天:支出2元,收入100万,第三天:支出4元,收入100万元;……哇,发财了!……”心里越想越美……,再看看悟空的表情,心里又嘀咕了:“这猴子老是欺负我,会不会又在耍我?”

假如你是高老庄集团企划部的高参,请你帮八戒分析一下,按照悟空的投资方式,30天后,八戒能吸纳多少投资?又该返还给悟空多少钱?

1.2  情境设置的反思

教学情境是教师为了发展学生的心理机能,通过调动学生的“情商”,激发学生的兴趣、求知欲等非智力因素来增强教学效果而营造的情绪氛围.建构主义学习理论认为:学习是学生主动的建构活动,学习应与一定的情境相联系,在实际情境下进行学习,有利于学生用原有的知识和经验去同化或顺应当前要学习的新知识.创设教学情境,让学生“触境生情”,既可以掌握数学

知识和技能,又可以体验教学内容中的情感,使原本枯燥的、抽象的数学知识变得生动形象,饶有趣味.但如何设计问题情境,才能使数学知识的发生及形成更为自然,更能贴近学生的认知特征?这应该是每一位教师进行教学设计的重要切入点.

情境1是从数列概念的问题情境中剥离出来的,但它不符合求等比数列前n项和的意境,因为细胞分裂后,前一个细胞自然消失,它不存在等比数列前n项求和的计算要求.这显然是由于参赛教师的认知缺陷,而造成的科学性错误. 情境2是多数参赛教师的设计方案,这正是基于数学教师对数学史知识的广泛认同.通过数学史料,可以扩展学生的数学视野,提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价值的认识.但该情境不贴近学生的生活实际,缺乏与时俱进的教育理念支撑. 情境3~6都以“市场经济”为切入点,虚拟问题情境,比较符合学生的接受水平,但从学生的心理健康层面与社会环境因素分析,又存在一定的差异.特别是情境3,以“穷人”与“富人”为虚拟人物叙述问题情境,不利于学生的身心发展,容易对学生的社会价值观和世界观产生不利影响.相比之下, 情境4突出教育的激励功能,对学生的成长有良好的心理暗示作用;情境5强调情境的生活化,力求使学生切身体会数学来源于生活,又服务于生活的数学本质;情境6则与我市的人文环境自然融合,更显亲切、和谐与幽默,有较强的感染力.

应该引起注意的是,问题情境并不单一的指向实例或情景,它还包括问题、活动、实验、叙述等多种形式.绝不能把应用作为数学课程的唯一目标,数学还应具备抽象的心智训练功能.根据高中学生的认知特征,可以保持对数学问题的适度抽象,课堂教学是应用价值与理性价值的统一.苏教版教材正是依据这样的理念进行编写的.教材中,确实有许多章节都是以入口较浅的、学生能理解的生活实例或其他实例,来引发学生思考的,这是章节的主背景,但也有以问题形式引领章节内容的,这是章节的生长点,是章节的核心内容或研究方法的出发点.而本节内容的教材处理方式属于后者,直接以问题为情境引发学生探索.也不失为一种好的情境设置.

2.   公式推导与反思

2.1  探究设计片断

丰富学生的学习方式,改进学生的学习方法是高中数学新课程的基本理念.《数学课程标准》明确指出:教学中,应鼓励学生积极参与教学活动,包括思维的参与和行为的参与.既要有教师的讲授和指导,也有学生的自主探索与合作交流.鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径,使他们经历知识形成的过程.为贯彻该理念,数学探究活动成了课堂教学的全新教学方式.教师对等比数列的前n和公式的推导,设计了如下一些探究方案.

倒序相加的定势中解脱出来.等差数列的求和方法,形式上是倒序相加,本质上就是消去数列中项与项之间的差异,把省略号(……)的“无形”化为“有形”(上下对应两项的和都等于a₁+a_n).对于等比数列而言,难点也是如何把省略号(……)的“无形”化为“有形”?引导学生从等比数列的定义出发,进一步认识等比数列从第二项起,每一项都是前一项的q倍,也就是说将每一项乘以q以后就变成了它的后一项.那么将S_n这个和式的两边同时乘以q,则在q S_n这个和式与S_n的和式中,就会出现许多相同的项.这样通过两个和式相减,自然可以将省略号(……)的“无形”化为“无影”(相同项相减等于0).

2.2  探究方案的反思

数学探究是高中数学课程中引入的一种新的学习方式,它有利于学生形成功能良好的认知结构.在问题探究过程中,学生通过思考、操作、内化等学习过程,深化知识和方法的建构,同时也不断地促进学生主动参与学习,使课堂教学真正做到让学生“动起来”,让课堂“活起来”.

纵观5个方案可以发现,方案1是接受性学习,由教师直接“抛出”等比数列前n项和的公式,让学生寻求证明的方法,此时的探究是没有任何意义的.学生已经知道问题的结论,就失去探索未知的冲动,自然解决问题的内驱力也不会太高.再者,如果没有教师点拔引导,普通的学生能找到解题的思路吗?况且初中教材已经删去了等比定理.恐怕只能是由教师提供解题方法,学生更多的是惊叹于方法的神奇,却没有自主获得结论的成就感,同时也不可能使“错位相减法”得到应有的重视.方案2~4都采用从特殊到一般的思想方法,但方案2略显单薄,没有突破错位相减的认知“瓶颈”,依然有“抛出”的嫌疑.而方案3和4在特殊到一般的过程中,引领学生进行似真推理,归纳猜想出等比数列前n项和公式,并从结构分析获得解题灵感.是较好的探究方式.

相比之下,方案5借助推导等差数列求和公式的思想方法,类比寻求推导等比数列的前n项和公式的方法,则更符合高一学生的认知特征.应该说等差和等比数列的求和公式的推导方法,从数学思想和数学方法上讲是一致的,都是将“无限”化为“有限”,但是它们也有差异,即错位的方法不同.正是由于这种差异,致使很多教师都错误地认为:不能通过类比推理探究等比数列的前n项和公式的推导方法.实际上,他们是基于这样的错误认识:通过运算方式的类比,由等差数列的前n项和公式只可以类比得出等比数列的前n项积公式.而这里却是解题方法的类比.