21．2.1　配方法(3课时)

第1课时　直接开平方法

理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．

提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax²＋c＝0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a(ex＋f)²＋c＝0型的一元二次方程．

重点

运用开平方法解形如(x＋m)²＝n(n≥0)的方程，领会降次——转化的数学思想．

难点

通过根据平方根的意义解形如x²＝n的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m)²＝n(n≥0)的方程．

一、复习引入

学生活动：请同学们完成下列各题．

问题1：填空

(1)x²－8x＋________＝(x－________)²；(2)9x²＋12x＋________＝(3x＋________)²；(3)x²＋px＋________＝(x＋________)².

解：根据完全平方公式可得：(1)16　4；(2)4　2；(3)()²　.

问题2：目前我们都学过哪些方程？二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？

二、探索新知

上面我们已经讲了x²＝9，根据平方根的意义，直接开平方得x＝±3，如果x换元为2t＋1，即(2t＋1)²＝9，能否也用直接开平方的方法求解呢？

(学生分组讨论)

老师点评：回答是肯定的，把2t＋1变为上面的x，那么2t＋1＝±3

即2t＋1＝3，2t＋1＝－3

方程的两根为t₁＝1，t₂＝－2

例1　解方程：(1)x²＋4x＋4＝1　(2)x²＋6x＋9＝2

分析：(1)x²＋4x＋4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x＋2)²＝1.

(2)由已知，得：(x＋3)²＝2

直接开平方，得：x＋3＝±

即x＋3＝，x＋3＝－

所以，方程的两根x₁＝－3＋，x₂＝－3－

解：略．

例2　市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m²提高到14.4 m²，求每年人均住房面积增长率．

分析：设每年人均住房面积增长率为x，一年后人均住房面积就应该是10＋10x＝10(1＋x)；二年后人均住房面积就应该是10(1＋x)＋10(1＋x)x＝10(1＋x)²

解：设每年人均住房面积增长率为x，

则：10(1＋x)²＝14.4

(1＋x)²＝1.44

直接开平方，得1＋x＝±1.2

即1＋x＝1.2，1＋x＝－1.2

所以，方程的两根是x₁＝0.2＝20%，x₂＝－2.2

因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x₂＝－2.2应舍去．

所以，每年人均住房面积增长率应为20%.

(学生小结)老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？

共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．

三、巩固练习

教材第6页　练习．

四、课堂小结

本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x²＝p(p≥0)的方程，那么x＝±转化为应用直接开平方法解形如(mx＋n)²＝p(p≥0)的方程，那么mx＋n＝±，达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解．

五、作业布置

教材第16页　复习巩固1.