尊重学生 启发学生 发展学生

                  
————《鸽巢问题》教学设计

【设计说明】

“鸽巢问题”是一个基本的数学事实。例如，把4支铅笔放进3个笔筒中，无论怎么放，一定存在一个笔筒里放入两支或两支以上的铅笔，至于是哪个笔筒就无所谓，只要存在着这样一个笔筒就可以了，这里就体现了“鸽巢问题”的存在性，学生只有经历一些具体事例的探究活动，才能逐步感受这种存在性。教材中都以“为什么”为问题来呈现，是要让学生经历“数学证明”的过程，对于小学六年级的孩子来说，他们很难用规范的语言来说理，但是他们能用合理的理由来说明，通过“说理”的方式理解“鸽巢原理”的过程就是一种数学证明的雏形，有助于提高学生的逻辑思维能力。

学生在学习“鸽巢问题”之前，已经积累了一些解决问题的活动经验，对解决这个问题有很大的帮助。但是，“鸽巢问题”很抽象，特别是在语言表述方面，学生很难灵活、准确地使用特定的术语（“总有”“至少”）来表述结论。在具体应用方面，学生很难找到什么是抽屉，什么是物体，为了突破这个难点，学生通过对比不同的现实素材，找到“抽屉问题”最本质的一般化模型，也就是将具体问题“数学化”的过程。

基于对教材和学情的分析，我进一步思考：学生应该学什么？又该怎样学？围绕这些问题，我的教学体现如下几个方面：

1、
激发学生的学习兴趣，我将“魔术”引入课堂，让学生参与到魔术中来，增加课堂的现场感，调动学生的学习积极性，让学生能自主地进入到课堂学习中来。

2、
借助具体操作，将抽象变直观，帮助学生能更好地说理，“把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔”这句话对于学生而言，不仅说起来生涩拗口，而且抽象难以理解。只有让学生通过具体操作，将4支铅笔放进3个笔筒中，列举出所有的情况，才能更好理解这句话的含义，能更清楚地说明这句话的正确性。

3、
以学生的“学”为主，凸显学生的主动性，让学生在证明的过程中探究方法，总结规律。我提出问题，学生借助具体操作，运用枚举法和假设法来证明这句话的正确性，接着，学生从不同的素材中，感受到都可以根据结论假设一种最极端的情况来说明问题，感受这种假设法的魅力。

4、
结合数学背景知识，进行数学文化的渗透。鸽巢原理早在我国春秋时期就有运用，我借助“二桃杀三士”的视频，让学生感受这种重要的数学原理的运用。

【教学设计】

教学目标：

1、
学生经历“鸽巢原理”的形成过程，理解“鸽巢原理”的基本形式，并能运用“鸽巢原理”的思想解决相关的实际问题或解释相关的现象。

2、
学生通过操作、观察、比较、说理等数学活动，能有依据、有条理的进行思考和推理，感受枚举法和假设法的魅力。

3、
学生经历类推、概括、对比的过程，能由具体的问题抽象出一般的规律，建立模型。

教学重点：经历“鸽巢原理”的探究过程，初步了解“鸽巢原理”

教学难点：理解“鸽巢原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。

教具：智慧教室和IPAD课件

教学过程：

一、“魔术”引入新课

1、
展示魔术

课件出示刘谦的图片

师：认识他吗？他是一个很有天赋的魔术师。今天，我也来当一回魔术师，给大家表演一个魔术。

师：这是一副没有大、小王的扑克牌，多少张？

生：52张

师：想请三个同学任意抽出5张牌，确认你们不是我的托。

师：现在我不知道你们的牌是什么？但是，我能肯定这5张牌中至少有两张牌是同花色的。你们觉得说得对不对？（课件上出示）

2、结合抽出的牌说理

师：那好，结合你的牌说一说，我对在哪里？

生：这里有3张牌是同花色，所以能说明至少有2张牌同花色

师：如果继续抽出5张牌，还可能有几张牌是同花色？能说明是对的吗？你们发现什么？

师：只要这5张牌中，有2张或2张以上的牌是同花色，就说明我这句话是对的。

3、引入新课

师：其实谢老师也不是什么魔术师，我只不过会运用一些数学规律设计了这个魔术而已，究竟是什么规律呢？带着这样的思考，我们进入数学广角的学习。

（揭示课题：数学广角）

【设计目的：用魔术吸引学生的眼球，激发学生的学习兴趣。让学生结合多样的素材，感受“至少”的含义，初步经历说理的过程，为接下来的说理做铺垫。】

二、通过自主探究活动，理解“鸽巢原理”

1、出示问题：把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有（ 2 ）支铅笔。

师：“总有一个”和“至少2支”是什么意思？

师：这种说法对吗？为什么？你打算用什么方法说明这句话是对的？

2、 学生开展操作活动

师：我们先来尝试这种枚举方法，请拿出活动单，按照上面的步骤进行

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 




     
  课件出示活动单：

3、学生汇报：

（1）确定列举的所有情况

学生枚举出15种放法

师：你怎么想的？

师：看这3种放法，（4,0,0）、（0,4,0）、（0,0,4）为了说明这句话是对的，可不可以只算一种情况？我们在解决这个问题的时候可以不考虑顺序。

师：现在认为一共有多少种情况呢？ 哪四种情况？

课件出示4种放法：（4,0,0）、（3,1,0）、（2,2,0）、（1,1,2）

（2）根据四种情况来说理

师：根据这四种情况，怎样说明这句话是对的呢？

师：无论是哪一种情况，都有一个笔筒里至少有2支铅笔，所以这句话是对的。

（3）刚才，我们统一了4种情况，发现了每一种情况中都有一个笔筒至少有2支铅笔，所以，说明这句话是对的。

（4）质疑：

师：是不是一定要枚举出所有情况，才能说明问题呢？

生：只用列举（1,1,2）就可以了

师：这种想法其实就是前面的哪种情况？为什么只枚举这一种就说明问题？

4、回顾与反思：

师：刚才，我们做了一件事就是说明这句话是对的，我们是通过怎样的方式说明这句话是对的呢？你比较喜欢哪种方法？为什么？

【设计目的：通过一个问题来驱动，让学生通过直观操作，自主探究发现解决问题的方法，渗透了逻辑推理的思想方法】

三 、通过不同的素材，感受假设法

1、出示题目

（1）5支铅笔放进4个笔筒，会怎样？为什么？

（2）6支铅笔放进5个笔筒呢？

（3）7支铅笔放进6个笔筒呢？

2、师：像这样的例子说得完吗？你能用一句话来说明吗？

生：n＋1支铅笔放进n个笔筒，总有一个笔筒至少放进2支铅笔

3、师：真厉害！由具体的数学问题推导出了一般的数学规律。这个规律可以解决生活中的很多问题。

【设计目的：通过多个具体问题，让学生感受到用假设法解决问题的优势，由具体的问题抽象出一般的规律】

四、运用方法，解决问题

1、有4只鸽子飞进3个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进2只鸽子，为什么？

2、5只鸽子飞进3个鸽巢，总有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子，为什么？

（1）怎样说理？

（2）对比这两个问题，你发现说理的过程有什么不一样的地方?

（3）像这样的问题，我们就叫鸽巢问题，这其中的规律就叫鸽巢原理；还有一些数学家研究苹果放抽屉的问题，就叫抽屉原理；最早提出这个原理的是十九世纪的德国数学家狄里克雷，这个原理被称为“狄里克雷”原理。

（4）这些都是在研究物体和抽屉之间的问题，所以一般称为抽屉原理，我们在运用鸽巢原理解决问题的时候要分清楚，什么是物体，什么是抽屉。

3、解释扑克牌魔术

师：为什么从一副没有大、小王的扑克牌中任意抽出5张，至少有两张牌是同花色的呢？什么是物体？什么是抽屉？

师：我们解决这样的问题，先要确定什么是物体，什么是抽屉，再用假设法来解决问题。在生活中有很多这样的现象，都可以用这样的方式去解释

4、在下面的图形中，给每个格子任意涂上绿色或者紫色。为什么必有两列，他们的小方格中涂的颜色完全相同？

 
 
 
 
 


 
 
 
 
 

师：什么是物体？什么是抽屉？每一列涂色有几种情况？这里一共有几列？

师：为什么必有两列，他们的小方格中涂的颜色完全相同？

【设计目的：设计三个不同层次的练习，满足了不同学生的需求。通过不同素材的对比，让学生逐步建立“抽屉原理”的一般化模型，同时渗透数学文化】

五、课堂小结

师：这节课学了什么？怎样来学习的？

师：今天，我们学习了抽屉原理的最基本的知识，接下来的几节课，我们还要继续探究抽屉原理的相关知识。

【设计目的：对本节课的知识进行回顾，不仅重知识，更要重获得知识的方法】

六、渗透数学文化

（1）  
观看“二桃杀三士”的视频

（2）  
师：什么是抽屉？什么是物体呢？

【设计目的：通过播放视频的方式，吸引学生的注意力。通过“二桃杀三士”的故事渗透数学文化】

【教学反思】

在教育改革的背景下，我们的课堂由“教堂”向“学堂”转变，由“老师的课堂”向“学生的课堂”转变，变化的本质都是开始关注学生学什么？怎样学？学生是学习学习的主体，我们应该多去尊重学生，了解学生学习的起点，学生学习的需要；以任务为驱动，启发学生思考，在基本活动经验和基本思想方法不断积累的过程中，发展学生思维能力和创新能力。

一、 重学情，尊重学生。

2011版课标提出“教师的教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生”。学生是学习的主体，学生的认知发展水平和已有的经验是开展学习的基础，教师应该发挥主导作用，启发学生在这个基础上进行学习。“鸽巢问题”是一个比较难的数学问题，学生难于理解，难于表达，特别是对“总有”和“至少”的理解，在教学中，我关注学生难点，关注学生的起点，充分地尊重学生。在导入环节，我以学生比较熟悉和感兴趣的魔术引入，尊重学生兴趣点，在“玩”中初步感悟鸽巢问题，结合具体的情境，学会用简洁的语言来说明一个问题的正确性，为接下来学习活动奠定基础。对于学生的难点，我不避讳，单独理解“总有”和“至少”这两个词语是很抽象，不好理解，我就结合情境，让学生解释“总有一个”和“至少两个”的含义，理解起来更容易一些，对接下来说理的过程就有很大的帮助。学生要用枚举法来证明“把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔”，都会想到列举出所有的情况，但为了说明这句话的正确性只用列举出4种情况就可以了，在教学中，我尊重学生的想法，从所有情况入手，结合这个问题进行辨析，“是不是要列举出所有情况才能说明问题？”学生通过思考，明白不用考虑排列的顺序，只用列举四种情况就可以了。

二、 重问题，启发学生

    2011版课标提出“好的教学活动，应是学生主体地位和教师主导作用的和谐统一。实行启发式教学有助于落实学生的主体地位和发挥教师的主导作用。”启发式教学就是要创设情境、设计问题，引导学生自主探究、合作交流，启发学生思考。只有这样的教学才能落实学生学习的主体作用。“问题”是启发学生思考的源泉，这节课，我以一个问题：“把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔，这句话对吗？为什么？”为驱动，学生会主动想办法去验证，发现规律得到结论。教材中所有的问题都以“为什么”来呈现，启发学生去思考，去推理，发展学生逻辑思维能力。新课标中提出的四能不仅有分析和解决问题的能力，还有发现和提出问题的能力，我在教学中，不仅重视这些“大问题”，还重视学生自己提出的问题，也就是把师生之间的交流转向为生生之间的交流，例如对于一个学生的回答，可以引导其他学生思考对这个同学的回答有什么疑问，有什么想说的？或者就让这个回答问题的同学去问其他同学，对他的回答还有什么补充的，都可以引导学生提出问题，还可以使生生互动起来。

三、 重活动，发展学生

2011版课标提出“学生在获得知识技能的过程中，只有亲身参与教师精心设计的教学活动，才能在数学思考、问题解决和情感态度方面得到发展。”数学的学习应该是在“做”中学，在“做”中积累基本活动经验和基本思想方法。“数学证明”对于小学生来说是很难的，很抽象的，本节课的内容并不像初中的证明题，但是需要学生初步感知证明的过程。为了方便学生更好地说理，我借助信息技术IPAD设计了模拟的铅笔和笔筒，让学生通过直观操作，将铅笔放进笔筒中，列举出所有情况再来说理，这样将抽象变直观，学生在感兴趣的活动中，边操作边思考，发展了学生逻辑思维能力和推理能力。建立“抽屉原理”的一般模型对解决这样的问题是有很大的帮助，我设计了一组相关联的练习，学生在练习中说理，提升了学生说理的能力，通过不同素材的对比，学生会发现说理的方法是一样的，还会发现无论是铅笔放进笔筒还是苹果放进抽屉或者是鸽子飞进鸽笼，都是在研究物体和抽屉之间的关系，解决这类问题的关键就是在找什么是抽屉？什么是物体？学生在这样的对比活动中，不仅解决了问题，还抽象出了一般模型，积累了一些活动经验和思想方法。活动的形式还要能吸引学生眼球，导入环节的魔术，就是想以一种神秘感吸引学生，学生很容易就进入活动中，很愿意参与进来，在“玩”中启发学生思考，发展了学生解决问题的能力，在情感态度方面也得到了发展。