初中数学分类讨论常见题型透析

发布者：郑锦松     发布时间：2016-10-27     浏览数：0

 

初中数学分类讨论常见题型透析

佛山市顺德区梁开初级中学  郑锦松

分类讨论，就是在研究和解决问题时，当问题所给对象不能统一进行研究，我们就需要根据对象的特征属性，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究从而在整体上解决问题。分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，有效运用分类讨论思想，有利于学生深入理解数学知识之间的内在规律性，对于培养学生思维的概括性和提高学生思维的条理性都有重要的意义。在初中数学学习中，分类讨论题是一种常见题型，更常常是中考压轴题的热点考点，但学生在解决此类问题时，因为考虑不周而导致失分的情况十分常见，究其原因主要是学生对数学问题中引起分类讨论的原因认识不够透彻。下面就初中数学中容易引起分类讨论的三类主要题型进行梳理归纳，剖析分类讨论题型解答的思路、方法和技巧。

一、问题中含有的参变量的不同取值会导致不同的结果而需要进行分类讨论

有些数学性质、公式或定理在不同的条件下是会有不同结论的，或者说结论只有在一定限制条件下才能成立，这时就需要用分类讨论的思想方法对参变量的不同取值而导致出现多种结果的情况进行分类讨论。该类题型多见于方程、不等式、函数等考点中。

【例1】解不等式：

解析：原不等式化为：（1）当时，原不等式的解为，

（2）当时，原不等式的解为。

点评：本题在解题过程中涉及到不等式性质的运用，由于不等式的性质是按参数的不同取值分类给出的，因此在不等式解题过程中一定要注意按未知数的系数大于0、等于0或小于0三种情况进行分类讨论，这样才能做到不重不漏。

【例2】求函数与x轴的交点坐标

解析：(1)当函数为一次函数时，，求得函数与轴交点为

(2)当函数为二次函数时，。①，即时，函数与有两个交点、；②，即时，函数与有一个交点；③，即时，的取值不存在。

点评：无论是一次函数还是二次函数，在定义时对最高次项的系数都要求不等于零，因此形如的函数，根据a的取值可以是一次函数，也可以是二次函数。在解答本题时，如果只注重形式，刚开始就将此函数就认定为二次函数，那么在解题过程中就容易漏掉的情况。此外，本题还涉及到对二次函数的交点情况的二次分类，这都需要学生对引起分类讨论的各知识点有清晰认识，否则很容易漏掉对问题的二次分类讨论。

二、问题中给出的条件没有准确表达几何图形的唯一性而需要进行分类讨论

   在有些数学问题中，一个语句描述的图形可能存在多样性，在解题过程中需要根据语句作出不同的图形，再结合图形对各类情况分类讨论从而得到问题的完整答案。该类题型常见于三角形、四边形及圆的有关考点中。

【例3】一个点到圆的最小距离是4，最大距离是9，则该圆的半径是____

解析：当点P在⊙O内时，如图1，此时⊙O半径为6.5，当点P在⊙O外时，如图2，此时⊙O半径为2.5。

        图1                               图2

点评：条件没有明确点的位置，而按照点与圆的位置关系分类有点在圆内、点在圆上、点在圆外三类，因此在解题过程时需要分类讨论，此题点在圆上时不满足条件，因此只有点在圆内和圆外两种情况。

【例4】如图3，已知抛物线经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线是抛物线的对称轴．则在直线上

是否存在点M，使△MAC为等腰三角

形？若存在，直接写出所有符合条件的

点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解析:由条件可求得抛物线的解

析式为，

对称轴为直线设，所以可设点M(1，m)。        图3

∵A(－1，0)、C(0，3)，∴，，

①若，则，得：，得：

②若，则，得：，得：

③若，则，得：，得：

当时，点M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去。

综上可知，存在符合条件的M点，且坐标为 

点评：由于问题给出的条件没有明确指出△MAC的顶点，而其顶点可能是M，也可能是点A或点C，所以要求出所有符合条件的点M的坐标，应分三种情况来讨论：①MA＝AC、②MA＝MC、③AC＝MC，对应点M就有三种可能，用分类思想对三种情况加以分析、讨论，就能确保研究问题的全面性。

三、“动点题”中同一运动结果但存在不同的运动过程而需要进行分类讨论

点运动类型的题目是中考的热点，更常常是中考压轴题，在此类题型中，常常存在相同的运动结果，但有几类不同运动过程的情况。此类题型在解题过程中要认真分清可能存在的不同运动过程，再分类研究，最后再对各类情况综合。

 【例5】如图4，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，若点F在矩形的边BC上移动，求运动开始几秒后以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？

解析：设移动开始后第t秒时，以点E、B、F

为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角

形相似。

（1）若,得，解得

（2）若,得，解得              图4

点评：本题从运动的观点，考查了动点E、F、G运动后所形成的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似，应根据动点的不同位置构造出不同的几何图形。在这一类的问题中，分类讨论的标准往往要结合题目的背景进行分类，如本题三角形相似因对应边的不同而存在不同的图形是分类讨论的标准。

【例6】如图5，直线与坐标轴分别交于点A、B，与直线交于点C，在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q

其中一点停止运动时，另一点也停止运动。分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF。

若运动时间为t秒，在运动过程中四

边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合

除外），则当t为多少秒时，矩形PEFQ

为正方形?                                       图5

解析：由题目易求得点P的运动速度为每秒两个单位长度，

（1）如图6，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，则OQ=FQ=t，PA=2t，因此QP=8-t-2t=8-3t，得8-3t=t，解得t=2.

（1）如图7，当PQ      =PE时，矩形PEFQ为正方形，则OQ=t，PA=2t，OP=8-2t，因此QP=t-(8-2t)=3t-8，得t=3t-8，解得t=4.

         图6                           图7

点评：对于运动形成正方形的结果，应分为点P在点Q左边和右边两种不同的运动轨迹进行分类讨论，这实际上是考查两点在数轴上的位置关系的分类。