第一节  命题及其关系、充分条件与必要条件

 【教学目标】

1．理解命题的概念．

2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．

3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．

【教学重难点】

1.重点：充分必要条件的判断和四种命题及其关系

2.难点：充分必要条件的判断和四种命题及其关系

【教学过程】

一、知识梳理

1.命题的概念及真假

在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．

2.“若p，则q”形式的命题

3.四种命题

(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系：

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

4. 充分条件与必要条件

(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．

(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充分必要条件．记作p⇔q.

二、基础自测

1.下列命题中的真命题是（   ）

A．是有理数     B．是实数  

C．是有理数       D．

2.若集合A＝{1，m²}，B＝{2,4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件        D．既不充分也不必要条件

3．“x＜－1”是“x²－1＞0”的(　　)

A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

4.若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的(　　)

A．逆否命题  B．逆命题

C．否命题  D．原命题

三、例题精析

【例题1】设原命题是“当c>0时，若a>b，则ac>bc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假

【解析】“当c>0时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是a>b，结论是ac>bc.

因此它的逆命题：当c>0时，若ac>bc，则a>b.它是真命题；否命题：当c>0时，若a≤b，则ac≤bc.它是真命题；

逆否命题：当c>0时，若ac≤bc，则a≤b.它是真命题.

【例题2】已知命题p：函数f(x)＝|x－a|在(1，＋∞)上是增函数，命题q：f(x)＝ax(a>0且a≠1)是减函数，则p是q的(　　)

A．必要不充分条件  B．充分不必要条件

C．充要条件       D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若命题p为真，则a≤1；若命题q为真，

则0<a<1.∵由q能推出p但由p不能推出q，

∴p是q的必要不充分条件．

【例题3】已知不等式<1的解集为p，不等式x2＋(a－1)x－a>0的解集为q，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－2，－1]　　　　　　　　      B．[－2，－1]

C．[－3,1]  D．[－2，＋∞)

【答案】A

【解析】不等式<1等价于－1<0，即>0，解得x>2或x<1，所以p为(－∞，1)∪(2，＋∞)．不等式x2＋(a－1)x－a>0可以化为(x－1)(x＋a)>0，当－a≤1时，解得x>1或x<－a，即q为(－∞，－a)∪(1，＋∞)，此时a＝－1；当－a>1时，不等式(x－1)(x＋a)>0的解集是(－∞，1)∪(－a，＋∞)，此时－a<2，即－2<a<－1.综合知－2<a≤－1.

【例题4】设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.

【答案】3或4

【解析】x＝＝2±，因为x是整数，即2±为整数，所以为整数，且n≤4，又因为n∈N*，取n＝1,2,3,4，验证可知n＝3,4符合题意，所以n＝3,4时可以推出一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根．

四、练习巩固

1．(2013·潍坊模拟)命题“若△ABC有一内角为，则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题(　　)

A．与原命题同为假命题

B．与原命题的否命题同为假命题

C．与原命题的逆否命题同为假命题

D．与原命题同为真命题

解析：选D　原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC的三内角成等差数列，则△ABC有一内角为”，它是真命题．

2． (2013·南京模拟)有下列几个命题：

①“若a>b，则a2>b2”的否命题；

②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；

③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题．

其中真命题的序号是________．

解析：①原命题的否命题为“若a≤b则a2≤b2”错误．

②原命题的逆命题为：“x，y互为相反数，则x＋y＝0”正确．

③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”正确．

答案：②③

3．已知α：x≥a，β：|x－1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．

解析：α：x≥a，可看作集合A＝{x|x≥a}，

∵β：|x－1|<1，∴0<x<2，

∴β可看作集合B＝{x|0<x<2}．

又∵α是β的必要不充分条件，∴BA，∴a≤0.

答案：(－∞，0]

4．已知集合A＝，B＝{x|－1<x<m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．

解析：A＝＝{x|－1<x<3}，∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，

∴AB，∴m＋1>3，即m>2.

答案：(2，＋∞)

5．已知集合A＝，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．

五、课程小结

1、对“四种命题”的理解

由于原命题和它的逆否命题是等价的，所以当一个命题的真假不易判断时，往往可以转化为判断它的逆否命题的真假；有的命题不易直接证明时，就可以改证它的逆否命题成立，所以反证法的实质就是证明“原命题的逆否命题成立”．

要注意：否命题与命题的否定是不同的．

2、判断命题充要条件的三种方法是：

①定义法．

②等价法：即利用A⇒B与綈B⇒綈A；B⇒A与綈A⇒綈B；A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是不等关系(否定式)的命题，一般运用等价法；

③利用集合间的包含关系判断，若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．

六、课后作业：

  完成《赢在微点》- -配餐作业P225-P226