一次函数与正比例函数课堂实录

教学过程：

复习引入

师：同学们，今天这节课我们一起来研究一次函数的复习与思考给我们提出的六个问题，请大家分成八个小组，合作讨论研究问题。

师：为了研究变化的世界，我们引入了函数，在同一变化的过程中两个相互制约、相互依存的量x、y满足什么条件时y是x的函数？举一些函数的实例．

生：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应．那么我们就说x是自变量，y是x的函数．如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量值为a时的函数值．

师： 能否举例说明？

生：例如：以60千米／小时的速度匀速行驶汽车的行驶里程s与行驶时间t之间，时间t是自变量，里程s是t的函数．

生：在一些用图或表格表达的问题中也能看到两个变量间有这样的关系．如心电图中，时间t是自变量，心脏电流y是x的函数．

生：还有如人口数量统计表中，时间年份x是自变量，人口数量y是x的函数．

师：很好，同学举的例子都不错。那能否举例说明函数有哪几种表示方法，它们各有什么优特点？

生：例如：在一根弹簧下端悬挂重物．改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，如图表所示：

弹簧长度（cm）10    11     12     13     14     15     16 

重物重量（kg） 0     2      4      6      8      10    12

如以上这种表示两个变量间函数关系的方法就是列表法．

生：观察分析表格中数据，探索它们的变化规律．发现弹簧不挂重物时长为10cm．每增加2kg重物弹簧伸长增加1cm．如果我们用x表示重物质量，用y表示弹簧长度，则它们之间存在关系式：
 y= x+10
这种以写式子的形式表示函数两个变量关系的方法叫解析式法．

生：如果我们在直角坐标系中，把表示中每组对应的x、y描点，用光滑曲线将这些点连结起来，构成一幅图．这种用图来表示函数中两变量关系的方法叫图象法．

师：刚才同学们说得很好（板书三种表示方法），接下来我们讨论一下三种表示方法的优缺点．

生：用列表法表示函数，直观准确但不完全．

生：用解析式法表示函数，准确完全但不直观．

生：用图象法表示函数，直观形象但不够准确也不太完全．

〖评析〗在表示函数时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为全面地认识问题，需要几种方法同时使用．

l 师：举例说明一次函数y=kx+b的常数k对图象的影响，结合图象说明一次函数的性质，由一次函数图象怎样求出它的解析式？请四个同学到黑板上在直角坐标系上画出函数y=x+1，y=-x+1，y=2x-1，y=-2x-1的图象． 
(生1、2、3、4到黑板画图，师深入小组，检查画图情况)

师：通过图像我们可以看出图像受什么因素影响？

生：由图象很容易看出一次函数解析式中常数k影响图象的倾斜．当k>0时，y随x增大      而增大；当k<0时，y随x增大而减小．

b决定直线y=kx+b与y轴的交点位置．b>0时，交点在y轴的正半轴上，b=0时，交点是原点， b<</SPAN>0时，交点在y轴的负半轴上．

师：（微笑）说得很好，k决定了直线的倾斜方向，b决定了直线的交点位置．

师：接下来我们讨论一下由一次函数的图象求解析式常用待定系数法．

生：因为有两个未知数，所以需要两个方程，那就需要两个点的坐标。

生：从图象上确定两个点的坐标，然后设出解析式为y=kx+b，分别把两组坐标代入解析式构成关系k、b的二元一次方程组，再解方程组求出k、b值．就可以确定一次函数解析式．

师：那一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组与一次函数之间有什么关系？怎样用函数图象解方程（组）或不等式？

生：一元一次方程ax+b=0与求自变量x为何值时，一次函数y=ax+b的值为0，实际上是同一个问题，表现在图象上即直线y=ax+b与x轴交点横坐标即是方程ax+b=0的解．

生：一元一次不等式ax+b>0或ax+b<0可以看作：当一次函数y=ax+b的值大于或小于0时，求自变量相应取值范围．利用函数图象将更能直观地表现出来．

师：我们如何求两条直线的交点坐标？

生：二元一次方程组可以转化为两个一次函数在自变量取何值时函数值相等；在图象上表现为求两条直线交点坐标的问题．

师：通过本章的学习，谈谈在解决实际问题时怎样建立函数模型．

生：方程（组）、不等式与函数都是基本的数学模型，它们之间互相联系，用函数观点可以把它们统一起来．

师：我补充一点，在解决实际问题过程中，由于各种模型的优缺点，应根据具体情况灵活地、有机地把这些数学模型结合起来使用．能让我们更方便、快捷地找到结果，这也正是数形结合思想的体现．

师：下面我们就请同学们对本章的内容小结，建立本章内容框架图

 师：（出示投影）请一个同学到黑板来板演．
     １．根据图象确定函数解析式：
      例１．已知一直线经过（2，3），（0，-1）两点，求表示这一直线的解析式．
      解：由题意可知其图象是一条直线．这个函数为一次函数，因此可以设它的解析式为 y=kx+b．而直线又经过（2，3），（0，-1）两点，

所以：解之得k=2   b=-1
 故这个函数解析式为y=2x-1．

２．利用数学模型解决实际问题：（出示投影）
     例2东风商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元．  

该商场为了促销制定了两种优惠方案供顾客选择．
     甲：买一支毛笔赠送一本书法练习本．
     乙：按购买金额打九折付款．

 某校欲为校书法兴趣组购买这种毛笔10支，书法练习本x（x≤10）本．如何选择方案购买呢？

师：请一个同学把题目朗读一遍。

生：朗读例题

师：请大家思考，动笔试一试．（５分钟后）

师：很好，同学们掌握的很不错．