新课标必修数学1 “函数”课程内容分析及教学建议
杨志文
函数是中学数学的核心内容，是中学数学的一条主线。在历次教材改革中都作为中学数学中的重点内容，一直被保留下来。在这次新课程改革中，新普通高中《数学课程标准》（以下简称《标准》）与原全日制普通高级中学《数学教学大纲》（以下简称《大纲》）相比，对“函数”单元的内容进行了调整，课程内容有了较大的变化。本文就《标准》必修模块数学1第二章“函数概念与基本初等函数I”的课程内容、教学目标要求、课程关注点、内容处理等方面的变化进行简要的分析，并对教学中应注意的几个问题谈谈自己的一些设想和教学建议，供大家参考。
一、《标准》必修模块数学1中“函数概念与基本初等函数I”与原课程中“函数”的比较
1．课程内容的变化
《标准》必修模块数学1“函数概念与基本初等函数I”与原《大纲》中“函数”相比删减的内容有两项：
（1）一一映射；（2）互为反函数的函数图像间的关系及求已知函数的反函数。
增加的内容有三项：（1）函数的奇偶性；（2）幂函数；（3）函数与方程。
2．教学要求的变化
原大纲对“函数”单元的教学要求是：①了解映射的概念，在此基础上加深对函数概念的理解。②了解函数单调性的概念，掌握一些简单函数单调性的判断方法。③了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数。④理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质；掌握指数函数的概念、图像和性质。⑤理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质。⑥能够运用函数的性质、指数函数、对数函数的性质解决某些简单的实际问题。⑦实习作业以函数应用为内容，培养学生应用函数知识解决实际问题的能力
《标准》对必修模块数学1“函数概念与基本初等函数I”的教学要求是：
（1）函数的概念：①通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义堿和值域；了解映射的概念。②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数。③通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。④通过己学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义。⑤学会运用函数图像理解和研究函数的性质。
（2）指数函数：①通过具体实例，了解指数函数的实际背景。②理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。③理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。④在解决简单实际问题中，体会指数函数是一类重要的函数模型。
（3）对数函数：①理解对数函数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读教材，了解对数发现历史以及对简化运算的作用。②通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像，探索并了解指数函数的单调性与特殊点。③知道指数函数与对数函数互为反函数。
（4）幂函数：通过实例，了解幂函数的概念；结合函数的图像，了解它们的变化情况。
（5）函数与方程：①结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系。②根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。
（6）函数模型及其应用：①利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实际体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。②收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数）的实例，了解函数模型的广泛应用。
（7）实习作业：根据某个主题，收集17世纪前后发生的一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物（开普勒、伽利略、笛卡尔、牛顿、莱布尼兹、欧拉等）的有关资料或现实生活中的函数实例，采取小组合作的方式写一篇有关函数概念的形成、发展或应用的文章，在班级中进行交流。
对照比较上述教学要求，不难发现《标准》在以下几个方面降低了要求：①对映射只仅仅要求了解其概念，不要求用它理解函数的概念；②对于反函数只要求知道，不要求形式化的理解其概念，也不要求求已知函数的反函数。《标准》在以下几个方面提高了要求：①对函数概念本质的理解；②对分段函数要求能简单应用；③对函数的单调性及最大（小）值由了解提升为理解；④对运用函数的图像理解和研究函数的性质提出了较高的要求；⑤加强了函数模型的背景和应用的要求；⑥加强了知识之间的联系。
3、课程关注点的变化
对于这块内容原大纲关注理解概念，掌握方法，而《标准》则注重了数学知识的发生、发展过程和实际应用。从《标准》教学要求中可以看到，对每一个概念都要求“通过具体实例”、“通过丰富实例”、“在实际情境中”“体会”、“了解”、“理解”。从数学概念、结论产生的背景、应用中理解函数概念的本质，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，从基本内容的实际背景中认识、体验函数应用的价值。课程关注点由单纯的知识、方法向综合素质——数学文化、数学应用转变。
4、内容处理上的变化
（1）《标准》在内容的处理上突出了函数的现实背景和实际应用。有利于学生认识数学与现实世界和实际生活的联系，培养和发展学生的数学应用意识。
（2）《标准》在内容的呈现中重视了由具体到抽象的过程。《标准》在课程内容与要求中，对每一个数学概念的学习都强调从具体到抽象的过程。如原大纲中先学习映射，再学习函数，而《标准》中先学习特殊的映射——函数，再学习一般的映射，这样由特殊到一般，符合学生的认知规律；又如对函数、指数函数、对数函数、幂函数等概念的呈现都是由具体到抽象的过程。
（3）《标准》将函数与方程相联系。从连续与离散的角度认识函数，从函数与方程的联系中理解函数，有助于提升学生对函数思想的理解水平。
（4）提出了与信息技术整合的要求。研究函数的性质首先需要画出函数的图形，而信息技术能帮助我们方便、快捷地画出函数图形。因此，《标准》在这一部分的有关内容中，明确指出了要运用信息技术进行教学。如：能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像，探索并理解对数函数的单调性与特殊点；能借助计算器用二分法求相应方程的的近似解；等等。都体现了加强与信息技术整合的要求。
二、教学中应注意的几个问题及教学建议
原《大纲》中，这块内容的教学重在概念的形式化、方法与技巧的训练，而《标准》则强调函数的现实背景和实际应用。强调函数是刻画现实世界中一类重要变化规律（运动变化）的模型，一种变量间有相互依赖的关系，通过某一事物的变化信息可推知另一事物信息的对应关系的数学模型。并要求结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程与方法。因此在教学中应注意以下几个问题。
1．在概念教学中要重视实际情境
《标准》在课程目标中的第一条就明确指出：“获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中蕴含的数学思想方法，以及他们在后继学习中的作用。” 对于“函数”这一高中数学的核心概念，当然就要加强函数模型背景和应用的要求。《标准》要求“通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型”；让学生“通过具体实例去了解指数函数模型的实际背景、去了解对数函数模型的实际背景”；让学生通过实例去“体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型的增长含义”；并要求学生通过收集现实生活中普遍使用的函数模型实例，去了解函数模型的广泛应用。这可以使学生在亲自经历上述这样的过程中，更好地认识数学、认识数学的价值。
教学建议：
（1）在函数概念的教学中，要从实际背景出发，通过丰富实例，体会数集之间的一种特殊的对应关系，理解函数概念的本质。在教学中，应强调对函数概念本质的理解，避免在求定义域、值域及讨论函数性质时出现过于繁琐的技巧训练，避免人为地编制一些求定义域、值域的偏题。这方面是与原大纲要求不同的，教学中要特别引起注意。
（2）在指数函数、对数函数、幂函数教学中，通过具体实例，如“直线上升”、“指数爆炸”、“对数增长”等实际背景从特殊到一般，具体到抽象构建模型，得出定义。
2．在函数图像和性质教学中要重视数形结合
数形结合、几何直观等数学思想方法是数学和数学学习中的重要思想方法，他们对于理解数学、对于数学的思考和学习都是十分重要的。而函数这一内容是学习数形结合、几何直观等数学思想方法很好的载体，信息技术又为我们画出函数图形提供了方便、快捷的工具。因此，《标准》加强了这方面的要求。在教学中，要重视图形在数学学习中的作用，挖掘函数图形对函数概念和性质的理解的功能。我们可以经常提出这样一些问题：从函数图像中你“看到了”什么？发现了什么？有什么联想？等等。在习题课教学中设计一些数形结合问题，使学生体会数形结合的思想方法。
4．在函数与方程中应重视知识之间的联系
《标准》非常注重函数与其它知识之间的联系，这种联系包括与方程、数列、不等式、算法等内容的横向联系，以及在整个高中数学中多次接触，反复体会，螺旋上升学习函数的纵向联系。例如，《标准》要求结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的关系；根据具体函数的图像，能借助计算器用二分法求相应方程的的近似解。在本章教学中，要注重函数与方程之间的联系，设计用二分法求方程的的近似解的问题，加强知识间的横向联系。
参考案例：利用计算器，求方程 lgx=3－x的近似解.（精确到0.1）
设计意图：体会函数与方程之间的联系，掌握用二分法求相应方程的的近似解的一般步骤。
教学建议：教学中可先由学生熟悉的二次方程方程开始研究，掌握了基本方法后，再解决本例。在解答本例中，可利用计算器进行计算，列表分析。最后小结归纳解题步骤，使其程序化。
参考文献：①《全日制普通高中级数学教学大纲》。人民教育出版社。2002年4月第一版。
②《普通高中数学课程标准（实验））》。人民教育出版社。2003年4月第一版。
③《普通高中数学课程标准（实验）解读》。严士健 张奠宙 王尚志等主编。江苏教育出版社。2004年4月第一版。
2015年