www.ks5u.com

第2课时　匀变速直线运动的位移与时间的关系

研究学考·明确要求]

 

知识内容	匀变速直线运动的位移与时间的关系	考试要求
		必考	加试
		d	d
基本要求	1.知道v－t图象中“面积”与位移的对应关系。 2．掌握匀变速直线运动位移公式，理解公式的意义和正、负号的含义。 3．能用匀变速直线运动位移公式x＝v0t＋2(1)at2解决简单问题。
发展要求	经历匀变速直线运动位移规律的探究过程，体会无限逼近的方法。
说明	追及、相遇问题不作要求。

 

基 础 梳 理]

1．匀速直线运动的位移：x＝vt。

2．如图1所示，匀速直线运动的v－t图线与时间轴所围矩形的“面积”(图中阴影部分)在数值上等于位移的大小。

图1

思考　某物体以5 m/s的速度做匀速直线运动，求物体在8 s内的位移。画出物体运动的v－t图象。物体的位移用v－t图象能反映出来吗？

答案　40 m。v－t图象如图所示。图象中的面积(图中阴影区域)表示物体的位移。

即 学 即 练]

1．如图2所示为一物体沿一直线运动的v－t图象，求它在0～12 s内的位移和路程。

图2

解析　v－t图线与t轴所围图形的“面积”表示位移，0～6 s内的位移x₁＝v₁t₁＝10 m/s×6 s＝60 m，6～12 s内的位移x₂＝v₂t₂＝－20 m/s×6 s＝－120 m。0～12 s内的位移x＝x₁＋x₂＝－60 m，路程s＝|x₁|＋|x₂|＝180 m。

答案　－60 m　180 m

技巧点拨]　若“面积”有正有负，则总位移等于各“面积”的代数和，总路程等于各“面积”绝对值的和。

基 础 梳 理]

1．匀变速直线运动的位移与时间的关系

x＝v₀t＋2(1)at²。

2．两种特殊形式

(1)当v₀＝0时，x＝2(1)at²(由静止开始的匀加速直线运动)。

(2)当a＝0 时，x＝vt(匀速直线运动)。

3．公式的矢量性

公式x＝v₀t＋2(1)at²为矢量式，其中的x、v₀、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选取初速度的方向为正方向。

若物体做匀加速直线运动	a与v0同向，a取正值
若物体做匀减速直线运动	a与v0反向，a取负值
若位移的计算结果为正值	说明这段时间内位移的方向与规定的正方向相同
若位移的计算结果为负值	说明这段时间内位移的方向与规定的正方向相反

思考　(1)阅读课本，请用“无限分割”“逐渐逼近”的思想说明v－t图象与t轴所围面积表示初速度为v₀的匀变速直线运动的位移。

(2)一个物体做匀变速直线运动，其运动的v－t图象如图3所示。已知物体的初速度为v₀，加速度为a，运动时间为t。

图3

①t s内的位移是多少？

②结合上节学过的速度公式请写出位移x与时间t的关系。

答案　(1)①把物体的运动分成几个小段，如图甲，每段位移≈每段起始时刻速度×每段的时间＝对应矩形面积。所以，整个过程的位移≈各个小矩形面积之和。

②把运动过程分为更多的小段，如图乙，各小矩形的面积之和可以更精确地表示物体在整个过程的位移。

　　

甲　　　　　　　　　乙

丙

③把整个过程分得非常非常细，如图丙，小矩形合在一起成了一个梯形，梯形的面积就代表物体在相应时间间隔内的位移。

(2)v－t图线下面梯形的面积表示位移

S＝2(1)(－(OC)＋－(AB))·－(OA)

把面积及各条线段换成所代表的物理量，上式变成

x＝2(1)(v₀＋v)t①

又因为v＝v₀＋at②

由①②式可得，x＝v₀t＋2(1)at²

这就是匀变速直线运动的位移与时间的关系式。

典 例 精 析]

【例1】 一物体做匀加速直线运动，初速度为v₀＝5 m/s，

加速度为a＝0.5 m/s²，求：

(1)物体在3 s内的位移；

(2)物体在第3 s内的位移。

解析　(1)根据匀变速直线运动的位移公式x＝v₀t＋2(1)at²，3 s内物体的位移x₃＝v₀t₃＋2(1)at3(2)＝5×3 m＋2(1)×0.5×3² m＝17.25 m。

(2)2 s内物体的位移x₂＝v₀t₂＝2(1)at2(2)＝5×2 m＋2(1)×0.5×2² m＝11 m。

第3 s内的位移x＝x₃－x₂＝17.25 m－11 m＝6.25 m。

答案　(1)17.25 m　(2)6.25 m

技巧点拨]　(1)公式表达的是匀变速直线运动的位移与时间的关系，适用对象必须是匀变速直线运动，包括匀加速和匀减速直线运动。

(2)公式x＝v₀t＋2(1)at²是匀变速直线运动的位移公式而不是路程公式，利用该公式计算出的是位移而不是路程。只有当物体做单方向直线运动时，位移的大小才等于路程。

(3)初速度等于零的匀变速直线运动，位移公式可以写成x＝2(1)at²，位移的大小与时间的平方成正比。

即 学 即 练]

2. 在平直公路上，一汽车的速度为20 m/s。从某时刻开始刹车，在阻力作用下，汽车以大小为4 m/s²的加速度运动，问：刹车后第6 s末汽车离开始刹车点多远？

解析　设汽车实际运动时间为t，v＝0，a＝－4 m/s²，

由v＝v₀＋at知汽车刹车时的运动时间为：

t＝a(v－v0)＝－4(0－20) s＝5 s，

即汽车刹车做匀减速直线运动的总时间为5 s，所以汽车的位移x＝v₀t＋2(1)at²＝20×5 m＋2(1)×(－4)×5² m＝50 m。

6 s>5 s，第6 s末汽车离开始刹车点50 m。

答案　50 m

基 础 梳 理]

1．对x－t图象的理解

(1)斜率：斜率的绝对值表示速度的大小；斜率的正负号表示速度的方向。

(2)截距：纵截距表示物体起始位置，横截距表示物体开始运动的时刻。

(3)交点：交点表示两物体在同一时刻处于同一位置，即相遇。

2．几种常见的位移－时间图象

(1)静止物体的x－t图象是平行于时间轴的直线，如图4直线 a。

(2)匀速直线运动的x－t图象是一条倾斜的直线，如图4直线 b，斜率表示速度。

图4

3．注意

(1)无论是v－t图象还是x－t图象都不是物体的运动轨迹。

(2)v－t图象和x－t图象都只能描述直线运动，不能描述曲线运动。

思考]

一列火车沿直线轨道运动，如图5描述了它相对于出发点的位移随时间变化的情况。

图5

(1)火车最远时距离出发点多少米？

(2)试分析火车各阶段的运动状态。

答案　(1)90 m

(2)火车在前2.5 min内以0.6 m/s(v＝2.5×60(90) m/s＝0.6 m/s)的速度做匀速直线运动，在2.5 min至3 min内火车停在距出发点90 m的位置。

典 例 精 析]

【例2】 (2016·金华市期末)如图6所示是甲、乙两物体从同一点开始做直线运动的运动图象，下列说法正确的是(　　)

图6

①若y表示位移，则t₁时间内甲的位移小于乙的位移

②若y表示速度，则t₁时间内甲的位移小于乙的位移

③若y表示位移，则t＝t₁时甲的速度大于乙的速度

④若y表示速度，则t＝t₁时甲的速度大于乙的速度

A．①②  B．①④  C．②③  D．③④

解析　若y表示位移，则t₁时间内甲的位移等于乙的位移，选项①错误；若y表示速度，根据速度图象与时间轴所

围的面积表示位移，则t₁时间内甲的位移小于乙的位移，选项②正确；若y表示位移，根据位移图象斜率表示速度，则t＝t₁时甲的速度大于乙的速度，选项③正确；若y表示速度，则t＝t₁时甲的速度等于乙的速度，选项④错误。本题选C。

答案　C

即 学 即 练]

3．如图7中x表示位移，则物体所做的运动形式为 (　　)

图7

A．做往复直线运动

B．做匀速直线运动

C．朝一个方向做直线运动

D．做匀加速直线运动

解析　 解决图象类问题要注意图象所表示的物理意义。本题图象为位移—时间图象，物体做往复运动，A正确。

答案　A

1．下列关于匀变速直线运动及公式x＝v₀t＋2(1)at²中的加速度的方向和正、负值的说法，错误的是(　　)

A．对匀加速直线运动，公式中a一定取正值

B．匀加速直线运动中加速度方向一定和初速度方向相同

C．匀加速直线运动中加速度也有可能取负值

D．若规定初速度方向为正方向，则匀加速直线运动公式中a取正值

解析　只有加速度方向与初速度方向相同时，物体才会做加速运动，所以选项B正确；若规定初速度方向为负方向，则减速运动时，加速度为正值，加速运动时，加速度为负值，所以选项A错误，C、D正确。选项A符合题意。

答案　A

2．如图8所示， v－t图中阴影部分的面积表示做匀变速直线运动物体的(　　)

图8

A．位移

B．运动时间

C．加速度

D．平均速度

答案　A

3．某质点的位移随时间变化规律的关系是x＝4t＋2t²，x与t的单位分别是m和s，则质点的初速度和加速度分别是(　　)

A．4 m/s，2 m/s²  B．0，4 m/s²

C．4 m/s，4 m/s²  D．4 m/s，0

解析　与匀变速直线运动的位移与时间关系式x＝v₀t＋2(1)at²对比可得：v₀＝4 m/s，a＝4 m/s²，C项正确。

答案　C

4．(2016·杭州高一检测)一滑块以某一速度从斜面底端滑到顶端时，其速度恰好减为零。已知运动中滑块加速度恒定。若设斜面全长为L，滑块通过最初2(1)L所需的时间为t，则滑块从斜面底端滑到顶端所用时间为(　　)

A.t  B．(2＋)t  C．3t  D．2t

解析　逆向思维法。对全程有L＝2(1)at总(2)，对上面的2(1)L有：2(L)＝2(1)a(t_总－t)²，联立解得t_总＝(2＋)t，故选B。

答案　B

5．一辆沿平直路面行驶的汽车，速度为36 km/h，刹车后获得加速度的大小是4 m/s²，求：

(1)刹车后3 s末的速度；

(2)从开始刹车至停止，汽车滑行的距离。

解析　汽车刹车后做匀减速滑行，其初速度v₀＝36 km/h＝10 m/s，末速度v＝0，加速度a＝－4 m/s²，设刹车滑行t时间后停止，滑行距离为x。

(1)由速度公式v＝v₀＋at得滑行时间

t＝a(v－v0)＝－4(0－10) s＝2.5 s

即刹车后经过2.5 s停止，所以刹车后3 s末的速度为零。

(2)由位移公式得滑行距离为

x＝v₀t＋2(1)at²＝10×2.5 m＋2(1)×(－4)×2.5²m＝12.5 m

答案　(1)0　(2)12.5 m

一、选择题

1．一物体做匀变速直线运动，下列说法中正确的是(　　)

A．物体的末速度一定与时间成正比

B．物体的位移一定与时间的平方成正比

C．物体的速度在一定时间内发生的变化与这段时间成正比

D．若物体做匀加速直线运动，则速度和位移都随时间增大；若物体做匀减速直线运动，则速度和位移都随时间减小

解析　由速度公式v＝v₀＋at和位移公式x＝v₀t＋2(1)at²可知，选项A、B错误；由加速度的定义式a＝Δt(Δv)可知，选项C正确；当物体做匀减速直线运动时，速度随时间减小，但位移随时间增大，选项D错误。

答案　C

2．飞机起飞的过程是由静止开始在平直跑道上做匀加速直线运动的过程。飞机在跑道上加速到某速度值时离地升空飞行。已知飞机在跑道上加速前进的距离为1 600 m，所用时间为40 s，则飞机的加速度a和离地速度v分别为(　　)

A．2 m/s²　80 m/s   B．2 m/s²　40 m/s

C．1 m/s²　40 m/s  D．1m/s²　80 m/s

解析　根据x＝2(1)at²得，a＝t2(2x)＝402(2×1 600) m/s²＝2 m/s²，飞机离地速度为v＝at＝2×40 m/s＝80 m/s。

答案　A

3．由静止开始做匀加速直线运动的汽车，第1 s内通过的位移为0.4 m，以下说法正确的是(　　)

A．第1 s末的速度为0.4 m/s

B．加速度为0.4 m/s²

C．第2 s内通过的位移为1.2 m

D．前2 s内通过的位移为1.2 m

解析　设加速度为a，由x＝2(1)at²得，a＝t2(2x)＝0.8 m/s²，所以第1 s末的速度v₁＝0.8 m/s，第2 s内通过的位移为x₂＝2(1)×0.8×2²m－2(1)×0.8×1²m＝1.2 m，故选项C正确。

答案　C

4．我国自行研制的J－20隐形战机在起飞前从静止开始做匀加速直线运动，达到起飞速度v所需时间t，则起飞前的运动距离为(　　)

A．vt  B.2(vt)  C．2vt  D．不确定

解析　设飞机以加速度a运动，则v＝at，x＝2(1)at²，故x＝2(vt)，B正确。

答案　B

5．一列火车从静止开始做匀加速直线运动，一人站在第一节车厢前端的路旁观测，第一节车厢通过他历时2 s，整列火车通过他历时6 s，则这列火车的车厢有(　　)

A．3节  B．6节  C．9节  D．12节

解析　设一节车厢的长为L，则L＝2(1)at1(2)，nL＝2(1)at2(2)，将t₁＝2 s，t₂＝6 s代入上面两式，解得n＝9，选项C正确。

答案　C

6．某物体运动的速度图象如图1所示。根据图象可知(　　)

图1

A．0～2 s内的加速度为1 m/s²

B．0～5 s内的位移为10 m

C．第1 s末与第3 s末的速度方向相反

D．第1 s末与第5 s末加速度方向相同

解析　由图象可知0～2 s内的加速度a＝2(2－0) m/s²＝1 m/s²，A正确；0～5 s内的位移x＝2(2＋5)×2 m＝7 m，B错误；第1 s末与第3 s末的速度都为正，方向相同，C错误；第1 s末加速度为正，第5 s末加速度为负，方向相反，D错误。

答案　A

7．一物体做匀变速直线运动，初速度为v₀＝2 m/s，加速度a＝－2 m/s²，则经过2 s后，物体的速度和位移为(　　)

A．－2 m/s，1 m  B．2 m/s，－1 m

C．2 m/s，0  D．－2 m/s，0

解析　由v＝v₀＋at得，v＝2 m/s＋(－2)×2 m/s＝－2 m/s，由x＝v₀t＋2(1)at²得，x＝2×2 m＋2(1)×(－2)×2²m＝0，故选项D正确。

答案　D

8．一辆汽车以20 m/s的速度沿平直路面行驶，当汽车以5 m/s²的加速度刹车时，则刹车2 s内与刹车5 s内的位移之比为(　　)

A．1∶1  B．3∶4  C．3∶1  D．4∶3

解析　汽车刹车后最终静止，应先求汽车运动的最长时间，由v＝v₀＋at，得t＝a(v－v0)＝－5(0－20) s＝4 s，即刹车后汽车运动4 s，5 s内的位移即4 s内的位移。因为x₂＝v₀t₁＋2(1)at1(2)＝20×2＋2(1)×(－5)×2²] m＝30 m，x₅＝x₄＝20×4＋2(1)×(－5)×4²] m＝40 m，所以x₂∶x₅＝3∶4，选项B正确。

答案　B

9．一辆汽车由A地开出，沿平直公路开到B地时，刚好停止运动。它的v－t图象如图2所示。在0～t₀和t₀～3t₀两段时间内，该汽车的(　　)

图2

A．加速度大小之比为2∶1

B．位移大小之比为2∶1

C．平均速度大小之比为2∶1

D．平均速度大小之比为1∶2

解析　0～t₀时间内，加速度a₁＝t0(v0)，位移x₁＝2(v0)t₀，平均速度大小－(v)₁＝2(v0)；t₀～3t₀时间内，加速度大小a₂＝3t0－t0(v0－0)＝2t0(v0)，位移x₂＝2(v0)(3t₀－t₀)＝v₀t₀，平均速度大小－(v)₂＝2(v0)，综上分析可得A正确，B、C、D错误。

答案　A

二、非选择题

10．一辆汽车以1 m/s²的加速度加速行驶了12 s，驶过了180 m，汽车开始加速时的速度为多少？

解析　以汽车初速度方向为正方向，运动示意图如图所示

由x＝v₀t＋2(1)at²得：

v₀＝t(x)－2(1)at

＝12(180) m/s－2(1)×12 m/s＝9 m/s。

答案　9 m/s

11．(2016·杭州抽测)汽车在平直公路以10 m/s的速度做匀速直线运动，发现前面有情况刹车，加速度大小为2 m/s²。

(1)刹车前进24 m所用时间；

(2)刹车后6 s内的位移。

解析　(1)由题意知v₀＝10 m/s，a＝－2 m/s²

由位移公式x＝v₀t＋2(1)at²得，

t₁＝4 s　t₂＝6 s(舍去)

(2)汽车停下来的时间t₀＝a(0－v0)＝5 s

故刹车后6 s内位移等于前5 s内位移

x＝v₀t₀＋2(1)at0(2)＝25 m。

答案　 (1)4 s　(2)25 m

12．某高速列车刹车前的速度为v₀＝50 m/s，刹车获得的加速度大小为a＝5 m/s²，求：

(1)列车刹车开始后20 s内的位移；

(2)从开始刹车到位移为210 m所经历的时间；

(3)静止前2秒内列车的位移。

解析　(1)列车从开始刹车到停下用时：

由v＝v₀＋at得：t＝a(v－v0)＝－5(0－50) s＝10 s

则20 s内的位移等于10 s内的位移

x＝v₀t＋2(1)at²＝50×10＋2(1)×(－5)×10²] m

＝250 m。

(2)由x＝v₀t＋2(1)at²得：210＝50t＋2(1)×(－5)t²

解得：t₁＝6 s

t₂＝14 s(不合题意，舍去)。

(3)列车的运动可看做初速度为0的反向加速运动，

则x′＝2(1)at′²＝2(1)×5×2² m＝10 m。

答案　(1)250 m　(2)6 s　(3)10 m