发布者： 武学生 所属单位：郑州市第七高级中学 发布时间：2021-09-18 浏览数( -) 【举报】
数列作为一类特殊的函数，很多也具有函数的性质，如单调性、周期性等，解决这些问题时，可以借鉴函数的解决方法．
1．函数的单调性：主要是利用函数单调性的定义，直接作差或作商(先判断各项是否同正或同负)比较an与an＋1的大小．
2．求数列中的最大或最小项：若数列先增后减，可用an≥an＋1(an≥an－1，)(n≥2)，求最大项an；若数列先减后增，则用an≤an＋1(an≤an－1，)(n≥2)．求最小项an.
3．数列的周期性主要是指每隔相同的项，数值重复出现，解决办法主要是通过分析通项(或递推)公式，多求出几项，找到规律．
一、数列单调性的判断
例1 已知函数f(x)＝x＋1(1－2x)(x≥1)，构造数列an＝f(n)(n∈N*)．试判断数列的单调性．
解 f(x)＝x＋1(1－2x)＝－2＋x＋1(3).
方法一 ∵an＝－2＋n＋1(3)(n∈N*)，an＋1＝－2＋n＋2(3)，
∴an＋1－an＝n＋2(3)－n＋1(3)＝(n＋1)(n＋2)(3(n＋1－n－2))
＝(n＋1)(n＋2)(－3)<0.
∴an＋1<an.
∴数列{an}是递减数列．
方法二 设x1>x2≥1，则
f(x1)－f(x2)＝x1＋1(3)－x2＋1(3)
＝x1＋1(3)－x2＋1(3)
＝(x1＋1)(x2＋1)(3(x2－x1))，
∵x1>x2≥1，∴x1＋1>0，x2＋1>0，x2－x1<0，
∴f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)<f(x2)，
∴f(x)在[1，＋∞)上为减函数，
∴数列{an}为递减数列．
方法三 an＝f(n)＝n＋1(1－2n)(n≥1)．
∵n≥1，∴an<0，
又an(an＋1)＝n＋1(1－2n)＝(n＋2)·(2n－1)((2n＋1)·(n＋1))＝2n2＋3n－2(2n2＋3n＋1)
＝1＋2n2＋3n－2(3).
∵n≥1，∴2n2＋3n－2>0，故an(an＋1)>1，∴an＋1<an，
故数列{an}为递减数列．
反思感悟 研究数列的单调性和最大(小)项，首选作差，其次可以考虑借助函数单调性．之所以首选作差，是因为研究数列的单调性和研究函数单调性不一样，函数单调性要设任意x1<x2，而数列只需研究相邻两项an＋1，an，证明难度是不一样的．另需注意，函数f(x)在[1，＋∞)上单调，则数列an＝f(n)一定单调，反之不成立．
二、求数列中的最大(或最小)项
例2 在数列{an}中，an＝2 019(2 018)，求该数列前100项中的最大项与最小项的项数．
解 an＝2 019(2 018)＝1＋2 019(2 018)，设f(x)＝1＋2 019(2 018)，则f(x)在区间(－∞，)与(，＋∞)上都是减函数．
因为44<<45，
故数列{an}在0<n≤44，n∈N*时递减，在n≥45时递减，借助f(x)＝1＋2 019(2 018)的图象知数列{an}的最大值为a45，最小值为a44.
所以最大项与最小项的项数分别为45,44.
反思感悟 本题考查根据数列的单调性求数列的最大项和最小项，此类题一般借助相关函数的单调性来研究数列的单调性，然后再判断数列的最大项与最小项．
例3 已知数列{an}的通项公式为an＝n9(7)n＋1，n∈N*，则该数列是否有最大项，若有，求出最大项的项数；若无，说明理由．
解 方法一 ∵an＋1－an＝(n＋1)·9(7)n＋2－n·9(7)n＋1＝9(7)n＋1·9(7－2n)，且n∈N*，
∴当n>3，n∈N*时，an＋1－an<0；
当1≤n≤3，n∈N*时，an＋1－an>0.
综上，可知{an}在n∈{1,2,3}时，单调递增；在n∈{4,5,6,7，…}时，单调递减．∴存在最大项．又a3＝3×9(7)3＋1<a4＝4×9(7)4＋1，∴第4项为最大项．
方法二 假设an是数列中的最大项，
则有an≥an－1，(an≥an＋1，)n≥2.
即n，(7)
∴，(9)又∵n∈N*，故n＝4.
故第4项为最大项．
反思感悟 由以上两种解法看，利用an≥an－1，(an≥an＋1，)n≥2.这种方法求最大项更加简单、直接，避免了繁琐的讨论过程．
三、利用函数的单调性确定变量的取值范围
例4 已知在数列{an}中，an＝n2＋λn，n∈N*.
(1)若{an}是递增数列，求λ的取值范围；
(2)若{an}的第7项是最小项，求λ的取值范围．
解 (1)由{an}是递增数列，得an<an＋1即n2＋λn<(n＋1)2＋λ(n＋1)，得λ>－(2n＋1)，n∈N*，∴λ>－3.
∴λ的取值范围是(－3，＋∞)．
(2)依题意有
a7≤a8，(a7≤a6，)即72＋7λ≤82＋8λ，(72＋7λ≤62＋6λ，)
解得－15≤λ≤－13，即λ的取值范围是[－15，－13]．
反思感悟 注意只有对二次函数这样的单峰函数，这个解法才成立，对于如图的多峰函数满足a7≤a8，(a7≤a6，)不一定a7最小．
四、数列周期性的应用
例5 已知数列{xn}满足x1＝a，x2＝b，xn＋1＝xn－xn－1(n≥2)，则下列结论正确的是( )
A．x100＝－a，x1＋x2＋…＋x100＝2b－a
B．x100＝－b，x1＋x2＋…＋x100＝2b－a
C．x100＝－b，x1＋x2＋…＋x100＝b－a
D．x100＝－a，x1＋x2＋…＋x100＝b－a
答案 A
解析 x1＝a，x2＝b，x3＝x2－x1＝b－a，
x4＝x3－x2＝－a，x5＝x4－x3＝－b，x6＝x5－x4＝a－b，
x7＝x6－x5＝a＝x1，x8＝x7－x6＝b＝x2，
∴{xn}是周期数列，周期为6，
∴x100＝x4＝－a，
∵x1＋x2＋…＋x6＝0，
∴x1＋x2＋…＋x100＝x1＋x2＋x3＋x4＝2b－a.
反思感悟 要判断一个数列是否具有周期性或求一个数列的周期，主要方法便是求出该数列的前几项，通过观察得到，或者由递推公式发现规律．