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微专题　数列求和

　　数列求和是数列问题中的基本题型，是数列部分的重点内容，在高考中也占据重要地位，它具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点．数列求和的方法主要有公式法、分组求和法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、并项求和法等．

一、公式法求和

例1　求数列1,3＋5,7＋9＋11,13＋15＋17＋19，…的前n项和．

解　所求数列的前n项和中共有1＋2＋3＋4＋…＋n＝2(n(n＋1))个连续的奇数，这些奇数组成等差数列，首项为1，公差为2，故该数列的前n项和

S_n＝2(n(n＋1))×1＋2(1)×2(n(n＋1))×－1(n(n＋1))×2

＝2(n(n＋1))＋2(n(n＋1))－1(n(n＋1))

＝2(n(n＋1))²

＝4(n2(n＋1)2).

反思感悟　公式法求和中的常用公式有

(1)等差、等比数列的前n项和

①等差数列：S_n＝na₁＋2(n(n－1))d(d为公差)或S_n＝2(n(a1＋an)).

②等比数列：S_n＝，q≠1(a1－anq)其中(q为公比)．

(2)四类特殊数列的前n项和

①1＋2＋3＋…＋n＝2(1)n(n＋1)．

②1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n².

③1²＋2²＋3²＋…＋n²＝6(1)n(n＋1)(2n＋1)．

④1³＋2³＋3³＋…＋n³＝4(1)n²(n＋1)².

二、分组求和法求和

例2　求和：S_n＝x(1)²＋x2(1)²＋…＋xn(1)²(x≠0)．

解　当x≠±1时，

S_n＝x(1)²＋x2(1)²＋…＋xn(1)²

＝x2(1)＋x4(1)＋…＋x2n(1)

＝(x²＋x⁴＋…＋x²ⁿ)＋2n＋x2n(1)

＝x2－1(x2(x2n－1))＋1－x－2(x－2(1－x－2n))＋2n

＝x2n(x2－1)((x2n－1)(x2n＋2＋1))＋2n；

当x＝±1时，S_n＝4n.

综上知，

S_n＝＋2n，  x≠±1且x≠0.((x2n－1)(x2n＋2＋1))

反思感悟　某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．

三、倒序相加法求和

例3　设F(x)＝4x＋2(4x)，求F1 001(1)＋F1 001(2)＋…＋F1 001(1 000).

解　∵F(x)＋F(1－x)＝4x＋2(4x)＋41－x＋2(41－x)＝1，

∴F1 001(1)＋F1 001(1 000)＝F1 001(2)＋F1 001(999)＝…＝1.

设F1 001(1)＋F1 001(2)＋…＋F1 001(1 000)＝S，

∴S＝2(1)×2S＝2(1)×1 000＝500.

反思感悟　(1)倒序相加法类比推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n个(a₁＋a_n)．(2)如果一个数列{a_n}，首末两端等“距离”的两项的和相等，那么求其和可以用倒序相加法．

四、裂项相消法求和

例4　求和：22－1(1)＋32－1(1)＋42－1(1)＋…＋n2－1(1)，n≥2，n∈N^*.

解　∵n2－1(1)＝(n－1)(n＋1)(1)＝2(1)n＋1(1)，

∴原式＝2(1)5(1)

n＋1(1)＝2(1)n＋1(1)

＝4(3)－2n(n＋1)(2n＋1)(n≥2，n∈N^*)．

延伸探究

求和：22－1(22)＋32－1(32)＋42－1(42)＋…＋n2－1(n2)，n≥2，n∈N^*.

解　∵n2－1(n2)＝n2－1(n2－1＋1)＝1＋n2－1(1)，

∴原式＝22－1(1)＋32－1(1)＋42－1(1)＋…＋n2－1(1)

＝(n－1)＋n2－1(1)

以下同例4解法．

反思感悟　(1)对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法，可用待定系数法对通项公式拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项．

(2)常见的拆项公式有

①n(n＋1)(1)＝n(1)－n＋1(1).

②n(n＋k)(1)＝k(1)n＋k(1).

③(2n－1)(2n＋1)(1)＝2(1)2n＋1(1).

④n＋1(1)＝－.

⑤n(n＋1)(n＋2)(1)＝2(1)(n＋1)(n＋2)(1).

五、错位相减法求和

例5　求和：1＋22(3)＋23(4)＋…＋2n－1(n)＋2n(n＋1).

解　设S＝1＋22(3)＋23(4)＋…＋2n－1(n)＋2n(n＋1)＝2(2)＋22(3)＋23(4)＋…＋2n－1(n)＋2n(n＋1)，①

∴2(1)S＝22(2)＋23(3)＋24(4)＋…＋2n(n)＋2n＋1(n＋1)，②

∴①－②得2(1)S＝1＋22(1)＋23(1)＋24(1)＋…＋2n(1)－2n＋1(n＋1)＝1＋2(1)－2n＋1(n＋1)＝2(3)－2n＋1(n＋3)，

∴S＝3－2n(n＋3).

综上所述，1＋22(3)＋23(4)＋…＋2n－1(n)＋2n(n＋1)＝3－2n(n＋3).

反思感悟　一般地，如果数列{a_n}是等差数列，{b_n}是等比数列，求数列{a_n·b_n}的前n项和时，可采用错位相减法求和，在写出“S_n”与“qS_n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便于下一步准确写出“S_n－qS_n”的表达式．

六、并项求和法求和

例6　求和：S_n＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)ⁿ(2n－1)．

解　当n为奇数时，

S_n＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…

＋[(－2n＋5)＋(2n－3)]＋(－2n＋1)

＝2·2(n－1)＋(－2n＋1)＝－n.

当n为偶数时，

S_n＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[(－2n＋3)＋(2n－1)]＝2·2(n)＝n.

∴S_n＝(－1)ⁿn (n∈N^*)．

反思感悟　通项中含有(－1)ⁿ的数列求前n项和时可以考虑使用奇偶并项法，分项数为奇数和偶数分别进行求和．