有理数复习---“三大家庭”揭秘

在有理数的“王国”里，有三个相互依赖、相互联系的家庭——数轴、相反数、绝对值.它们号称有理数中的“三个重锤”，是学好中学数学的起点，下面把它们各自的特征介绍给大家.

（一）“一线串珠”的数轴

1.数轴的理解

定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.

温馨提示：（1）数轴是一条特殊的直线，它可以向两边无限延伸；（2）数轴的三要素：原点（表示数0的点），正方向（一般取向右的方向），单位长度，这三个要素缺一不可；      （3）数轴上原点的位置、单位长度都是根据实际问题的需要确定的，同一条数轴上的单位长度应一致.

2.数轴的画法

（1）画一条直线，并在这条直线上任取一点，用它来表示数0，称为原点.原点必须确定，并明确标记.

（2）一般取从左到右的方向为正方向，在所画直线的最右端画一个向外的箭头表示正方向；向左的方向为负方向，负方向通常不需要表示.

（3）选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示为…，从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示为….

温馨提示：正数从原点向右依次标注，负数从原点向左依次标注.

3.数轴的应用

（1）任意一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.

（2）利用数轴可以比较有理数的大小：数轴上不同的两个点表示的数，右边点表示的数总比左边点表示的数大.

温馨提示：数轴上的点从左到右的顺序，就是它所表示的数从小到大的顺序.从而可以得到：负数小于0，0小于正数，负数小于正数.

4.正确理解数轴上的点与有理数的对应关系

所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但不能说数轴上的所有点都表示有理数（以后会学到）.正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，零用原点表示.

（二）“形影不离”的相反数

1.认识相反数

只有符号不同的两个数叫做互为相反数，除0以外，相反数总是一正一负，成对出现的，在数轴上表示互为相反数的两个点分别在原点的两侧，且到原点的距离相等.

（1）通常用与表示一对相反数.

（2）若互为相反数，则.

（3）互为相反数的两个数的绝对值相等,即.

（4）若，则或.

2.相反数的性质

（1）若互为相反数，则；反之,若，则互为相反数.

（2）若互为相反数，则所对应的点在数轴上到原点的距离相等.

（3）互为相反数的两个数的差是其中一个数的2倍.

（4）互为相反数的两个数的积是非正数.

（5）互为相反数的两个数（0除外）的商等于.

（6）互为相反数的两个数同乘或除以一个数（0除外）仍互为相反数.

（7）零的相反数是零.

（三）“永不言负”的绝对值

1.认识绝对值

由绝对值的几何意义可知，一个数的绝对值是指数轴上表示该数的点与原点的距离，因为距离总是正数或0,所以有理数的绝对值不可能是负数，即.

从绝对值的定义可知：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数，即正数；0的绝对值是0.综合在一起，我们可以得到任何一个有理数的绝对值都是非负数，即.

应注意的两个问题：

（1）绝对值等于0的数一定是0,绝对值为正数的数有两个，它们是和，是互为相反数的两个数.

（2）两个负数相比较，绝对值大的反而小，这说明比较两个负数的大小应分两步进行：

①分别求出这两个负数的绝对值，并比较其绝对值的大小；

②根据“两个负数，绝对值大的反而小”得出结论.

2.绝对值的性质

（1）任何一个有理数均有绝对值，且绝对值总是非负数，即，这体现了绝对值的非负性.

（2）有理数的绝对值最小为0，且无最大的绝对值.

（3）绝对值等于其本身的数是正数或0.反过来，如果一个数的绝对值是其本身，那么这个数必是正数或0.

（4）绝对值为某一正数的有理数有两个，它们互为相反数，反过来，互为相反数的两个数的绝对值相等.

（5）若，则.