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《函数的奇偶性》教学设计

鄢陵县第一高级中学  袁海杰

根据人民教育出版社A版教材，新课程必修第一册的安排，这节课安排在第三章第二节函数的性质部分。我比较了这节课与原来教材的分布及处理方式。现在我按照新课程下的课堂教学设计这节课。

一、教学目标

1、理解函数的奇偶性及其几何意义；

2、利用指数函数的图像和性质,及单调性来解决问题；

3、体会指数函数是一类重要的函数模型,激发学生学习数学的兴趣；

4、体会数学的数学逻辑、数学建模等核心素养的渗透

二、教学重难点

【重点】函数的奇偶性及其几何意义

【难点】判断函数的奇偶性的方法与格式

三、教学过程

(一)导入新课

取一张纸，在其上画出平面直角坐标系，并在第一象限任画一可作为函数图象的图形，然后按如下操作并回答相应问题：

1 以y轴为折痕将纸对折，并在纸的背面(即第二象限)画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形;

问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质?函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系?

答案：(1)可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于y轴对称;

(2)若点(x，f(x))在函数图象上，则相应的点(-x，f(x))也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等.

(二)新课教学

1.函数的奇偶性定义

像上面实践操作1中的图象关于y轴对称的函数即是偶函数，操作2中的图象关于原点对称的函数即是奇函数.

(1)偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.

(学生活动)：仿照偶函数的定义给出奇函数的定义

(2)奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.

补充说明：

①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质;

②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称).

③具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.

（3）典型例题

(一)判断函数的奇偶性

例1.(教材P84例6)应用函数奇偶性定义说明两个观察思考中的四个函数的奇偶性.(本例由学生讨论，师生共同总结具体方法步骤)

解：(略)

总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称;

2 确定f(-x)与f(x)的关系;

3 作出相应结论：

若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0，则f(x)是偶函数;

若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0，则f(x)是奇函数.

(三)巩固提高

1.教材P85思考

（1）根据函数解析式判断函数的奇偶性，如f(x)=x^3+x；

（2）已知函数的奇偶性，给出部分函数图像，让我们补充图像，如上面例题

说明：函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称，所以判断函数的奇偶性应应首先判断函数的定义域是否关于原点对称，若不是即可断定函数是非奇非偶函数.

2.利用函数的奇偶性补全函数的图象

(教材P85思考题)

规律：偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.

说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据.

(四)小结作业

本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称.单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质.

课本P85 习题3.2复习巩固1——5；综合运用7、8

四、板书设计

第一版

标题：函数的奇偶性

举出两个例子并做出其图像，根据图像归纳特点

一、偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.

类比偶函数的概念，让学生自己阅读课本并归纳出奇函数的概念

二、奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.

并给出4道例题，让学生小组谈论并派代表进行展示

第二版   

通过小组讨论展示，发现以下两个问题

1、函数  从解析式上看是偶函数，但仔细看发现，当x=2时，-2不在定义域内，那么这样就没有意义了，以此强调先考虑函数的定义域关于原点对称。另一方面，强调函数的概念，包括解析式、定义域。

2、函数，由于该函数的特殊性，常数函数，因此既满足偶函数概念又满足奇函数概念，因此，我们称它既是奇函数又是偶函数。

进而归纳一个函数如果按奇偶性分类，可以分为：奇函数、偶函数、既不是奇函数也不是偶函数、既是奇函数又是偶函数共四类。

第三版

通过课本例题的学习及共同探讨，得出这节课的重点内容，即一个中心、两个基本点。定义域为中心，奇函数偶函数的判定。

同时留下思考：除了课本上提供的定义法判断函数奇偶性之外，还有没有其他的方法呢？

通过学生的进一步讨论，发现也可以用图像法进行判断，还可以利用性质判断。如  这是一个奇函数与另一个奇函数的加法，发现在公共的定义域内，仍然是一个奇函数。从而得出三种判断方法。

规律：偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.

第四版小半部分

留下大约10分钟时间，让学生进一步消化这节课，给不同学生一个反思的过程