发布者：张甲 所属单位：郑州市第一中学1 发布时间：2021-12-03 浏览数( -) 【举报】
组合
1. 在
超级国际象棋盘上有一只超级马,它每一步能从任一矩形的一个角跳到另一个对角,问：超级马能否由某格出发,进过每格恰一次并回到出发点？
2. 平面上有9个点,无三点共线,每两点连边共有36条边.问至少取多少条边,才能保证把这些边任意染成红色或蓝色时,一定出现同色三角形.
3. 证明:在任何九个人中,总可以找到三个人互相认识或四个人互相不认识.
4. 有64匹马,假设马发挥稳定且没有体力问题,如果一场比赛可以选8匹赛一次,能否在50次比赛之内赛出它们的所有名次?
5. 平面上给定1007个点,将连接每两点的线段中点染成红色.求证: 至少有2011个红点.
6. 平面上有若干个圆,它们覆盖平面的面积是1. 证明: 可以从中选出若干个两两不相交的圆,使它们的面积之和不小于.
7. 在平面上给定两条封闭折线，每条折线均有奇数条边且这些边所在的直线互不相同，这其中任何三条直线均不共点.证明：必可从每条折线上各取一条边，使得以二者为一组对边可以作出一个凸四边形.
8. 已知为大于1的自然数,求证: 不能在的方格表中填入数,使得每行和每列数之和都是的方幂.
9. 已知n为正整数,有个球分了许多堆,我们可以任意选甲,乙两堆来按照以下规则操作:若甲堆的球数a不少于乙堆的球数b,则从甲堆拿b个球放到乙堆里去,算是一次操作. 证明: 可以经过有限次操作把所有的球合并成一堆.
10.已知正整数.将正边形的每条边和每条对角线标上一个不超过的正整数,且满足:
(1)每个正整数都出现在边或对角线所标的数中;
(2)每个三角形中,有两条边标的数相等,且大于第三边上标的数.
求: 满足上述条件的最大整数,对于这个最大值,满足上述条件的标法有多少种?
11.个点构成的图中,没有完全图,则最多有多少个完全图?
12.一种密码锁的密码设置是在正n边形的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？
13.有座城市, ,任意两座城市之间可以建设单向的航线.问:是否可以找到一种构建航线的方法,使得从一座城市至多转机一次就可以到达另外任何一座城市.
14.将正棱柱的各顶点用4种颜色染色,相邻的两顶点颜色不能相同,有多少种不同的染色方法?
15.已知有两组平行直线,每组中有2014条直线,且这两组直线互相垂直. 现在把每一条直线标记一个正整数,并且在每一组中,相邻的直线上标的数之差的绝对值不大于1,现在,在每两条直线的交点上标上这两条直线所标的数之和,证明: 这2014×2014个点上所标的数中,至少有2014个数两两相等.
16.某次考试有5道选择题，每题都有4个不同答案供选择，每人每题恰好选1个答案。在2000份答案中发现存在一个 n ，使得任何 n 份答卷中都存在4份，其中每2份的答案都至多3题相同，求 n 的最小可能值.
17.设n 是一个固定的正偶数，考虑一块的正方形板，它被分成n2个单位正方形格，板上2个不同的正方形格如果有一条公共边，就称它们为相邻的。将板上N个单位正方形格作上标记，使得板上的任意正方形格(作上标记的或者没有作上标记的)都与至少一个作上标记的正方形格相邻，试确定N的最小值.
18.给定平面上的点集，且P中任三点均不共线.将P中所有的点任意分成83组，使得每组至少有三个点，且每点恰好属于一组，然后，将在同一组的任两个点用一条线段相连，不在同一组的两个点不连线段，这样得到一个图案G.不同的分组方式得到不同的图案.将图案G中所含的以P中的点为顶点的三角形的个数记为m(G).
(1)求m(G)的最小值 ；
(2)设是使的一个图案，若将中的线段(指以P的点为端点的线段)用4种颜色染色，每条线段恰好染1种颜色.证明：存在一种染色方案，使染色后不含以P的点为顶点的三边颜色相同的三角形.
19.平面上给定条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，它们把平面划分为若干区域.证明：可以在每一个区域内填一个绝对值不大于的非零整数，使任一直线同一侧所有区域中各数之和为零.
20.已知集合,对于集合,
记
求
21.给定正整数，设实数满足
求的最小值.
22.求最小的正数，使对所有满足的无穷正数列成立不等式
23.设为正边形的中心，各边用将其编号，又用这些整数将编号，问：是否存在一种编号方法，使各个三角形各边上各数之和相等？