基本信息

  课题

普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1《变化率问题》

作者及工作单位

  珠海市斗门区第一中学   冼虹雁

教材分析

1．函数是高中数学的重要内容，导数作为研究函数的有力工具，使函数的单调性，极值，最值等问题都得到了有效而彻底的解决．用导数方法研究函数问题是数学学习的必然，也是高考命题的一个重要趋势．

2．通过本节学习不仅要让学生了解导数的背景和理解平均变化率的概念，为后面进一步学习奠定良好基础，而且要培养学生拥有豁达的科学态度，互相合作的学习态度，勇于探究，积极思考的学习精神．

3．本节课是导数的第一课时，俗话说，万事开头难，这个头开好了，能为今后的深入学习和探究打下良好的知识基础和心理基础．

学情分析

高二学生经过一年多的学习，已经掌握了函数的基本初等知识，形象思维与抽象思维得到了进一步的锻炼，有一定的自学及探究能力．而对导数，他们是充满好奇却又一无所知的状态下开始学习的，学生希望主动参与到导数的探索性学习中，以研究的方式去主动获取知识，应用知识，解决问题，获得发展；教师则应充当指导者，合作者和助手的角色，与学生共同经历知识的探究过程．

 教学目标

在新课程让学生经历学数学、做数学、用数学的理念指导下，本节课的教学目标设定为知识与技能目标，过程与方法目标，情感与态度目标．

知识与技能目标：理解函数的平均变化率的概念，会求函数的平均变化率，感受平均变化率的实际背景，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，体会数学的博大精深以及学习数学的意义．

过程与方法目标：经历由实例抽象出平均变化率概念的过程，体会平均变化率的思想及内涵，培养学生观察，归纳，类比，猜想，验证的数学思想，体验由特殊到一般的逻辑思维过程．

情感与态度目标：通过具体的动手操作和导数的背景学习，培养学生拥有豁达的科学态度，互相合作的学习态度，勇于探究，积极思考的学习精神．

教学重点和难点

教学重点：在实际背景下直观地、本质地去理解平均变化率的概念，会用平均变化率的概念解决一些实际问题．

教学难点：对生活现象作出数学的解释．

教学过程

教学环节

教师活动

预设学生行为

设计意图

创设情境

每小组配备一个气球，以学习小组的形式，吹气球，观察，并思考：随着气球内空气容量的增加，气球的半径如何变化？为什么？

分组探究，互相观察，积极思考

让学生主动参与到学习当中，激发学习欲望，并主动思考

互动探究

把这一现象用数学语言来描述，引导学生从以下四个方面思考：

1 在这一现象中，有什么变量？变量间有什么关系？

（气球体积，气球半径，）

2 变量是如何变化的？通过计算一些具体的值，如从0增加到1，从1增加到2，从2增加到2.5，从2.5增加到4的变化，感受平均膨胀率？

（随着气球体积的增大，比值越来越小，而这个比值就是气球的平均膨胀率）

3 总结归纳气球平均膨胀率的公式

（气球平均膨胀率）

以学习小组的形式尝试用数学语言来解释这个生活现象，分别给出上面四个问题的答案，并说明理由

让学生主动探究，深入到数学学习中来，这样不仅达到“对一种生活现象的数学解释”这一能力要求，而且很好的理解气球平均膨胀率这一概念，也为下面要进行的类比平均膨胀率归纳出函数的平均变化率作好铺垫

气球的平均膨胀率是一个特殊的情况，我们把这一思路延伸到函数上，归纳得出函数的平均变化率

平均变化率

分组探究，合作交流完成

由特殊到一般，培养学生的归纳思维，学生在获得新知的喜悦中，树立学习数学，学好数学的信心

反思应用

例1：已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率：

1.   2.    3.

变式1：已知函数,

分别计算在区间，上函数的平均变化率；

变式2：在曲线的图象上取一点及邻近一点，求．

分组探究，合作交流完成，学生竞争上黑板展示成果，同时做好生生评价和师生评价

在理论到实践的过渡过程中，加深对概念和公式的认识，增强继续学习的信心，同时为接下来的拓展提高做准备

反思：平均变化率的几何意义？引导学生研究以上练习并类比斜率公式，归纳出平均变化率的几何意义就是函数图象上两点和连线的斜率．最后给出动画演示加强学生对平均变化率的直观感受．

分组讨论，探究，得出结论，小组间讨论各自的结论的正确与否

培养学生的归纳推理和类比推理能力，让学生自主的把知识点推导出来，巧妙地渗透了从多角度分析问题的辨证思想

讲“谁是导数概念的第一发明人”的故事：英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼茨在同一时间不同空间创立了导数的概念，因为是莱布尼茨先出书进行阐述，国际上认同莱布尼茨为第一发明人，而英国人拒绝承认而导致远离了国际分析数学的主流

学生认真听讲

使学生得到了数学史方面的熏陶

教育学生对待科学要有豁达的心态，学习中要注意交流，引起学生反思，进行自我评价

观看田亮逆转夺冠的影片剪辑，让同学们把这一生活现象用数学语言来解释，并描绘出田亮重心移动的图象．

观看影片，把具体的图象抽象成坐标图形

培养学生的空间想象能力和抽象思维

培养同学们越挫越勇的心态，学习田亮不服输的精神

例2：假设相当于水面的高度h（单位：米）与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系，那么田亮在0秒到0.5秒时间段内的平均速度是多少，在1秒到2秒时间段内呢，从这个时间段内呢？

师生互动，共同完成

巩固学习成功，不仅培养学生学数学的能力，还培养了学生用数学的能力

归纳总结

再次巩固变化率的概念，体会生活中和变化率相关的例子

1．平均变化率的概念；

2．如何求平均变化率；

3．平均变化率的几何意义；

4．……等等

学生各抒己见

学生通过你一言我一语交流，在解决问题过程中获得经验的反思，各有所得

作业布置

必做题：

1.试比较正弦函数在区间和上的平均变化率，并比较大小；

2.已知函数在区间上的平均变化率为,则在区间上的平均变化率为(    )

A.   B.   C.     D.

选做题：

3.A、B两船从同一码头同时出发,A船向北,B船向东,若A船的速度为30km/h,B船的速度为40km/h,设时间为t,则在区间上,A,B两船间距离变化的平均速度为_______

思考题：

关于田亮跳水的例子，当我们计算田亮在某一段时间里的平均变化率为0的时候，是否其运动状态的静止的？能不能用平均变化率精确的表示田亮的运动状态？

学生就自己的实际情况对必做，选做，和思考题进行处理

巩固所学知识，发现和弥补教学中的不足

加强师生间的交流与配合，让好生吃得好，中等生吃得饱，后进生吃得了

板书设计（需要一直留在黑板上主板书）

学生学习活动评价设计 

1．学生在探究中实现自我评价，通过分组活动实现学生之间的互相评价；

2．教师注意观察学生在教学各环节中的表现，看其是否能做到积极的探究和主动地与他人合作交流，对学生在学习过程的良好表现及时鼓励；

3．教师通过不同层次的课堂提问和课后作业，对学生学习能力和学习效果进行及时检验，为补偿性教学提供依据．

教学反思

    本节课是导数的入门课，因此，引起学生的兴趣，让学生主动参与到学习中来体会数学是本节课的开课思想．教学过程中充分关注学生能否积极主动的参与知识探索，能否应用适当的语言表达自己的思想，交流学习体验．高中阶段正是学生人生观形成的重要时期，在吸收知识的过程中教会他们学会如何做人，培养热爱祖国，团结协作，不怕困难等精神品质，也能达到良好的效果．