基本信息

  课题

人教版 选修2-1《曲线与方程》

作者及工作单位

 雷蓉  珠海市斗门区第一中学

教材分析

1．教学内容在教材中的地位：从内容上看，求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，是高考中的一个热点和重点，属较常考知识点，多以解答题的形式出现，且试题有一定的难度，一般与平面向量综合。

2．教材的编写思路：用“坐标化”将求符合某种条件的动点的轨迹方程转化为寻求变量间的关系，考查了数学思想方法的应用及一定的推理能力和运算能力，

3. 教材处理：常用的求动点的轨迹方程基本方法有直接法、定义法、代入法（相关点法）、参数法、交轨法、几何法、向量法等（共两个课时）。在求轨迹方程时，利用平面几何的有关性质进行探讨和分析，常会使求解过程简捷。另外，有时需要将几种方法结合到一起求解。

学情分析

1.       学生的兴趣：本节是高考中的一个热点和重点，学生乐于挑战和思考。

2.       学生的知识基础：高三复习课，学生刚进入圆锥曲线的知识复习。

3. 学生的认识特点：基础知识已掌握，但综合运用知识的能力和综合思维能力需要加强。

 教学目标

1.       知识与技能：了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系；理解曲线与方程的概念；会选择合适的方法求曲线的轨迹方程。

2.       过程与方法：通过经历不同方法求轨迹方程的过程和应用，培养学生分析、解决数学问题的能力和数学应用意识。

情感态度与价值观：通过本节知识的学习，培养其严谨治学的态度。在学生分析问题、解决问题的过程中培养其积极探索的精神，从而实现自我的价值。 

教学重点和难点

重点： 会根据题境选择定义法（待定系数法）和相关点法（代入法）求曲线的轨迹方程。

难点： 会选择合适的方法求曲线的轨迹方程。

教学过程

教学环节

教师活动

预设学生行为

设计意图

一、           知识梳理

（1）       曲线与方程的概念

（2）       求曲线方程的一般步骤

二、          重点解析

探究一：直接法

例1：（1）已知点O(0,0)，A(1,－2)，动点P满足|PA|=2|PO|，则P点的轨迹方程是     

（2）已知两定点A(1，1)，B(－1,-1),动点P(x,y)满足，则点P的轨迹是       

警示启迪：求轨迹方程的一般步骤；轨迹与轨迹方程的区别。

探究二：定义法（待定系数法）

例2：如图，在平面直角坐标系中，N为圆上的一动点，点B坐标为（1,0），点M是BN的中点，点P在线段AN上，且，求动点P的轨迹方程。

变式1：设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切，求C的轨迹。（2011广东理）

变式2：与圆外切，且与轴相切的动圆圆心的轨迹方程是            ．

探究三：相关点法（代入法）

例3：已知曲线与直线交于两点和，且．记曲线在点和点之间那一段为．设点是上的任一点，且点与点和点均不重合．若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程。（2009广东理） 

探究四：参数法

例4：设椭圆方程为，过点M（0,1）的直线交椭圆与点A,B，O是坐标原点，点P满足，当直线绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程。

三、          知识小结

1、求曲线的轨迹方程常采用的方法有定义法、直接法、代入法、参数法，基本步骤是：

①.建系.②设点.③.列式.④.化简.⑤.得轨迹并检验（范围）。

2、①注意轨迹的“纯粹性”和“完备性”；②注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.

四、          巩固提升

1．已知直线l：2x＋4y＋3＝0，P为l上的动点，O为坐标原点．若2＝，则点Q的轨迹方程是________．

2．已知动圆P与定圆C：外切，又与定直线相切，那么动圆圆心P的轨迹方程是        ．

3.已知B（-5,0），C（5,0）是△ABC的两个顶点，且,

则顶点A的轨迹是        ．

4．动点的轨迹方程是        ．

五、作业布置

见《全品作业手册》

（1）2011广东文

（2）2011安徽理

提问：曲线与方程的概念中两个条件是否可以仅满足一条？曲线方程的一般步骤是什么？

归纳总结：

直接法：当题目的条件中有明显的等量关系或可以利用平面几何知识推出动点满足的等量关系时，求轨迹方程，只需把这种关系表示成含的方程式并化简，可得到曲线的轨迹方程。

教师板书例2解答

提问学生题目条件的等价转化，通过对该题的分析，让学生理解通过平面几何关系得到定义法求轨迹的过程。

归纳总结：

定义法：若动点的轨迹符合某一基本轨迹（圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可根据定义写出其方程（其中含有待定系数），再利用其他条件求出待定系数，即可直接求出动点的轨迹方程。

点评：高考真题中无图，读题画图更能反映出大家的理解和读题能力。

归纳总结：

相关点法（代入法）：当动点P随另一动点Q（称为相关点）运动而运动时，可先设法将点Q的坐标用点P坐标来表示，然后再代入点Q坐标所满足的曲线方程，即得点P的轨迹方程。这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法。

归纳总结：

参数法：当动点坐标中的关系不易直接列出时，可根据题设条件引入一个或多个参数，列出与参数之间的关系式，从而消参得到轨迹的参数方程.

回顾整节课知识点，复习重要内容，以及容易出错须注意的地方。

小结：求轨迹方程的一般步骤；求轨迹方程要检验点的轨迹的纯粹性和完备性。

给学生思考时间，然后提问用何种方法解题，思路是什么。

 学生思考并回答

学生先做，然后叙述解题思路，教师点评引出方法一---直接法，并归纳小结。

学生回答轨迹和轨迹方程这两个概念的区别

思考题中的条件如何转化，动点满足的几何等量关系式是什么？理解定义法求轨迹的方法和思路。

学生板演变式题

思考题目各条件可得出的结论，解答习题，体验高考真题。

学生板演

①    学生讨论此题有几种解法，小组代表回答解题方法。①参数法：联立方程后利用韦达定理解题，消去参数斜率k即可；②点差法.

学生和老师一起回忆、总结。

看题思考并回答用何种方法求轨迹解题，并简要叙述如何解答。

 对本节课知识进行梳理。

直接法求轨迹方程是求轨迹方程的方法之一，学生易于掌握，但要注意轨迹和轨迹方程的区别，加深对概念的理解。

定义法是求轨迹方程中相当重要的方法，也是历年高考考察的重点和热点，附上变式题，加深应用和理解。这是本节课的重点！

巩固练习，突出重点，突破难点。

这是本节课的重点，首先圆锥曲线的题目必须要能够读题画图。其次相关点法（代入法）和定义法一样是高考重点考察的求轨迹方法。本题需要学生自行思考突破。

直线与椭圆的位置关系属常规题型，不同的解题方法可以看出学生的思维能力，小组讨论后灵活掌握知识。

牢记本节课知识点，达到掌握知识的目的.

通过基础练习，了解本节课要复习的主要内容。

作业中通过高考真题的训练，让学生感受高考难度，检验自己的知识掌握运用程度、树立信心.

板书设计

轨迹与方程 

1、 常用解法

2、 例题1.                   学生板演               学生板演 

学生学习活动评价设计 

本节课是高考中考查圆锥曲线知识的一个热点和重点，通过对求轨迹方程（第一课时）中直接法、定义法、相关点法、参数法等的练习，使学生重新建构知识、运用知识并掌握，达到复习巩固并突出重点、突破难点的目的。

教学反思

本节课是高考中考查圆锥曲线知识的一个热点和重点，通过对求轨迹方程（第一课时）中直接法、定义法、相关点法、参数法等的练习，使学生重新建构知识、运用知识并掌握，达到复习巩固并突出重点、突破难点的目的。