基本信息

  课题

普通高中课程标准实验教科书 数学必修2

第三章 直线与方程

3.2 直线的方程  3.2.3  直线的一般式方程

作者及工作单位

董玉琦  广东省珠海市斗门区第一中学

教材分析

本节内容是《普通高中课程标准实验教科书·数学2》（人教版）第三章直线方程第二节的第三课时。

下一节解析几何有两项根本性的任务：一个是求曲线的方程；另一个就是用方程研究曲线．本节内容就是讨论直线的一般式方程，因此是非常重要的内容，能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础。

直线方程一般式是在学生学习直线方程的点斜式与两点式的基础上，进一步研究直线方程，我们知道直线方程的点斜式与两点式是有限制条件的，此外直线方程一般式要涉及二元一次方程，教学中应注意各部分知识之间过渡要自然流畅，不生硬。由于这一节是直线方程的结尾部分，也是检验学生是否真正掌握所学知识点的一个很好的课题，通过公式的选择与互换，可以培养学生分析问题、解决问题的力。

学情分析

本节课学生很容易在以下两个地方产生错误：

1. 直线方程一般式的形式不规范;

2. 直线方程一般式的讨论不清晰。

 教学目标

1、知识与技能

（1）明确直线方程一般式的形式特征；

（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；

（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。

2、过程与方法

学会用分类讨论的思想方法解决问题。

3、情态与价值观

（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；

（2）用联系的观点看问题。

教学重点和难点

1、重点：直线方程的一般式。

2、难点：对直线方程一般式的理解与应用。

教学过程

教学环节

教师活动

预设学生行为

设计意图

复习引入

直线方程几种形式和其的应用范围.

（1）点斜式：

 有斜率的直线

（2）斜截式： 

有斜率的直线

（3）两点式：

（4）截距式：

 不经过原点，且a,b均不为0（用PPT进行放映并提出以下问题）

问题一：上述四种直线方程的表示形式都有其局限性，是否存在另外一种形式可以综合的表示平面中的所有直线？

观察这些特殊的直线方程，可猜测：直线和二元一次方程有着一定的关系。 

 复习前面学习的几种形式下的直线方程，并思考老师所提问题。

回顾直线方程的几种形式，说明它们都具有局限性，通过扩大概念的外延，引出新概念，一般式 

新课讲授

1、（1）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于想x，y的二元一次方程表示吗？

（2）每一个关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0（A，B不同时为0）都表示一条直线吗？

教师引导学生用分类讨论的方法思考探究问题（1），即直线存在斜率和直线不存在斜率时求出的直线方程是否都为二元一次方程。对于问题（2），教师引导学生理解要判断某一个方程是否表示一条直线，只需看这个方程是否可以转化为直线方程的某种形式。为此要对B分类讨论，即当B≠0时和当B=0时两种情形进行变形。然后由学生去变形判断，得出结论：

  关于x，y的二元一次方程，它都表示一条直线。

  教师概括指出：由于任何一条直线都可以用一个关于想x，y的二元一次方程表示；同时，任何一个关于想x , y的二元一次方程都表示一条直线。

     我们把关于关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式

使学生理解直线和二元一次方程的关系

探求新知

直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？

学生通过对比、讨论，发现直线方程的一般式与其他形式的直线方程的一个不同点是：直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与x轴垂直的直线。

使学生理解直线方程的一般式的与其他形式的不同点。

在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表示的直线

（1）平行于x轴；（2）平行于y轴；（3）与x轴重合；（4）与y重合。

教师引导学生回顾前面所学过的与x轴平行和重合、与y轴平行和重合的直线方程的形式。然后由学生自主探索得到问题的答案。

使学生理解二元一次方程的系数和常数项对直线的位置的影响。

例题解析

例题一：已知直线经过点A（6，-4），斜率为-4/3，求直线的点斜式和一般式方程。

学生独立完成。然后教师检查、评价、反馈。指出：对于直线方程的一般式，一般作如下约定：一般按含x项、含y项、常数项顺序排列；x项的系数为正；x，y的系数和常数项一般不出现分数；无特加要时，求直线方程的结果写成一般式。

使学生体会把直线方程的点斜式转化为一般式，把握直线方程一般式的特点。

例题二：把直线L的一般式方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线L的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形。

先由学生思考解答，并让一个学生上黑板板书。然后教师引导学生归纳出由直线方程的一般式，求直线的斜率和截距的方法：把一般式转化为斜截式可求出直线的斜率的和直线在y轴上的截距。求直线与x轴的截距，即求直线与x轴交点的横坐标，为此可在方程中令y=0，解出x值，即为与直线与x轴的截距。

    在直角坐标系中画直线时，通常找出直线下两个坐标轴的交点。

使学生体会直线方程的一般式化为斜截式，和已知直线方程的一般式求直线的斜率和截距的方法

课堂练习

第99练习第1题和第3（2）

学生独立完成，教师检查、评价。

巩固所学知识和方法。

课堂小结

1、会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式（和截距式）很少化成截距式，一般侧重于求截距.

2、在直角坐标系下，直线与二元一次方程建立了一一对应关系。方程的解就是直线上点的坐标。这样，我们就给直线插上了方程的“翅膀”，用代数方法研究几何问题，这就是解析几何的本质。

3、通过这节课的学习，我们看到了直线方程的一般形式，感受到它的优势：特殊形式的方程都可以化成一般式，我们是否可以认为直线方程的一般式是直线方程的“终结”，是“最后归宿”，其实不仅如此，以后的内容中还经常用到一般式，如直线的交点坐标，两直线的位置关系，点到直线的距离，两直线间的距离等。

（1）请学生写出直线方程常见的几种形式，并说明它们之间的关系。

  （2）比较各种直线方程的形式特点和适用范围。

  （3）求直线方程应具有多少个条件？

（4）学习本节用到了哪些数学思想方法？

使学生对直线方程的理解有一个整体的认识。

布置作业

第100页习题3.2第10题和第11题。

学生课后独立思考完成。

巩固课堂上所学的知识和方法。

板书设计

学生学习活动评价设计 

教学反思

根据教材分析直线的一般式方程是本节的重点，本节课内容不难，但对于数学功底不够扎实态度不够认真的同学来说要由此“调动课堂的积极性”并非易事，教学内容过于平淡，很难激发学生学习的潜在“因子”所以我通过开设简单的问题情境激发学生学习的积极性，并讲解了典型例题，选取了针对性强、难度适中的练习题，锻炼了学生灵活运用直线的一般式方程解答求直线的倾斜角、斜率、在x轴上的截距、y轴上的截距等相关问题的能力，教学效果良好。

关于课堂师生互动，要调动学生的学习热情，要尽量根据学生的当时反映能力及情绪及时对备课内容进行删减，若状态较差就以最简单的方式引入教学，若状态好就适当加深难度，这样课堂效果确实好了，但有时会与教学进度产生一定的矛盾。所以在以后教学要学会控制调动学生积极参与课堂活动又要兼顾教学的适当伸缩度。