发布者： 王瑞敏 所属单位：许昌高中 发布时间：2022-08-10 浏览数( -) 【举报】
课题：§2.1.1椭圆的定义及其标准方程
一、教案背景：
1.面向对象：高中二年级学生
2.学科：数学
3.课时：2课时
4.教学内容：高中新课程标准教科书《数学》北师大版选修1-1第二章圆锥曲线与方程§2.1.1椭圆及其标准方程
二. 教材分析
本节课是圆锥曲线的第一课时，它是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线和方程的概念有了一些了解，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础。因此这节课有承前启后的作用，是本章的重点内容之一。
1. 教法分析
结合生活经验观察发现、启发引导、探究合作。在学生的生活体验、直观感知、知识储备的基础上，引导学生逐步建构概念，为学生数学思想方法的形成打下基础。利用多媒体课件,精心构建学生自主探究的教学平台,启发引导学生观察,想象,思考,实践,从而发现规律、突破学生认知上的困难，让学生体验问题解决的思维过程，获得知识,体验成功。主要采用探究实践、启发与讲练相结合。
2. 学法分析
从知识上看，学生已掌握了一些椭圆图形的实物与实例，对曲线和方程的概念有了一些了解，对用坐标法研究几何问题有了初步的认识。
从学生现有的学习能力看，通过一年多的学习，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。
从学生的学习心理上看，学生头脑中虽有一些椭圆的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何给椭圆以数学描述? 如何“定性”“定量”地描述椭圆是学生关注的问题，也是学习的重点问题。他们渴望将感性认识理性化，渴望通过自己动手作图、观察来辨析和完善概念，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的积极心向是学生学好本节课的情感基础。
3.教学目标
（1）掌握椭圆的定义；理解椭圆标准方程的推导过程，掌握椭圆标准方程的两种形式，会运用待定系数法求椭圆的标准方程。
（2）经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，逐步提高学生的观察、分析、归纳、类比、概括能力；通过椭圆标准方程的推导，进一步掌握求曲线方程的一般方法——坐标法，并渗透数形结合、等价转化的数学思想方法。
（3）通过课堂活动参与，激发学生学习数学的兴趣，提高学生审美情趣，培养学生勇于探索的精神。提高学生的数学抽象、数学建模核心素养。
4.教学重点与难点
重点：椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形式
难点：椭圆的标准方程的建立和推导教学方法
5.教学准备
通过百度搜索与椭圆有关的图片资料，利用百度搜索相关的教学资料制作多媒体课件，自制教具：绘图板、图钉、细绳。
三、教学过程
教学环节 | 教师活动 | 学生活动 | 设计意图 |
创设情景
引入新课
| 情景1：用圆柱状水杯盛半杯水，将水杯放在水平桌面上，截面为圆形．当端起水杯喝水时，水杯倾斜，再观察水平面，此时截面为椭圆形．（演示）
情景2：
问题2：（1）圆是怎么画出来的？ （2）圆的定义是什么？ （3）圆的标准方程是什么形式的？ 猜想：1、椭圆是怎么画出来的？2、椭圆的定义是什么？3、椭圆的标准方程又是什么形式？
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学生观察
学生举例
学生思考后回答。
| 引入生活情境激发学生的学习欲望，自然引入新课，同时与其实际相联系，拓宽学生思维，发展他们联想、类比能力。 使学生在感叹祖国科技辉煌发展的氛围中认识椭圆。 用类比的思想，通过已经学过的圆的知识猜想椭圆，开展后续教学。 |
互动探究
形成概念 | 探究1 将圆心从一点“分裂”成两点，给你两个图钉，一根无弹性的细绳，一张纸板，能画出椭圆吗？ 让学生自己动手画图，使其探究性学习，再提出以下问题： 思考1：在纸板上作图说明什么？ 思考2：在作图过程中，有哪些物体的位置没变？有哪些量没有变？ 思考3：若调节两图钉的相对位置，所得到的图形有何变化？ 根据椭圆画法，从中归纳椭圆定义——与两个定点的距离之和为定长（绳长）的点的轨迹为椭圆（绳长大于两定点间距离）． 动态演示动点生成轨迹的全过程，印证猜想
| 同桌同学按照老师的要求合作画图，并思考轨迹上的点具备什么特点。 展示学生成果。请学生代表本小组交流探究结论： | 给学生提供一个动手操作，合作学习的机会；通过实验让学生去探究“满足什么样的条件下的点的集合为椭圆”；让每个人都动手画图，自己思考问题，由此培养学生的自信心。
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互动探究
深化概念 | 探究2 在绳长不变的情况下，改变两个图钉之间的距离，画出的椭圆有何变化？ 当两个图钉重合在一起时，画出的图形是什么？ 当两个图钉之间的距离等于绳长时，画出的图形是什么？ 当两个图钉之间固定，能使绳长小于两个图钉之间的距离吗？ 定义：平面内与两个定点 教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。 思考1：焦点为 令椭圆上任一点M，则有
补充：若 思考2：刚才在画图时，大家的绳长是一样的，但是画出的椭圆一样吗？椭圆的圆扁程度与什么有关？
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利用动画显示结果
学生通过课件观察变化情况
请学生给出经过修改的椭圆定义
学生思考后回答 | 使学生经历椭圆概念的生成和完善过程，提高其归纳概括能力，加深对椭圆本质的认识，并逐渐养成严谨的科学作风
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研讨探究
推导方程 | 前面我们已经得到椭圆的定义，那么由椭圆定义，我们能不能推导出椭圆的方程。 问题3：求曲线方程的一般步骤是什么？ ①建系、取点；②列式；③代换；④化简；⑤证明 下面由同学根据这两个问题分组讨论椭圆方程的求法。（1）要建立椭圆方程应该如何建立坐标系？ （2）椭圆上动点M满足什么条件？ 尤其在化简过程中，对于根式的处理，学生会感到困难，教师进行提示。
（把学生推导椭圆方程的具有代表性的方法，在实物展台上投影。） 问题：通过对比学生求出椭圆各种形式的方程，你能发现什么规律？哪一种方程最简洁？
方程
此时，椭圆的焦点在 焦点坐标为 我们可以发现，以上两种方案是最好的。 问：观察一下焦点分别在x轴、y轴上的椭圆的标准方程，如何根据方程判断其焦点在x轴上还是在y轴上？(看分母大小，哪个分母大焦点就在哪一条轴上) 说明： (1)在两个方程中，总有a>b>0 (2)椭圆的三个参数a、b、c满足： (3)要分清焦点的位置，只要看 |
学生回答
学生先独立思考，之后全班交流，确定最后的解决方案，然后分工合作，共同完成，之后再交流。
学生思考后主动发言回答。
以上三条，尽量由学生总结出
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充分发挥学生的学习主动性。
通过坐标系的不同选择，用不同的方法得到不同的方程，通过比较体会曲线的方程的不确定性，理解曲线与方程的关系，感受恰当选择坐标系的优越性，感受标准方程的简洁、对称、和谐之美，并在实践中通过对比提高决策能力、计算能力、培养学生简约的思维能力。
培养学生的观察、分析归纳能力。
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例题研讨
变式精析 | 例1.适合下列条件的椭圆的标准方程 (1) a =4，b=1，焦点在 x 轴 (2) a =4，c= (3)两个焦点的坐标是（ 0 ，-2）和（ 0 ，2） 并且经过点（ -1.5 ，2.5）
∴ 所求方程为 (2)
∴ 所求方程为 (3) 因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标
所以所求椭圆方程为 例2.我国发射的神舟八号飞船变轨前，是在以地心F2为一个焦点的椭圆轨道上运行，已知它的近地点B距地面200公里，远地点A距地面330公里，并且F2、A、B在同一直线上，地球半径约为6371km，求轨道方程（精确到1km）。
| 学生独立完成学生讨论 | 培养学生运用知识解决问题能力
解决情景设置中的问题 |
练习检测
当堂巩固 | 1、如果椭圆 2、 求适合下列条件的椭圆的标准方程 （1）两个焦点坐标分别是（0，2），（0，-2），椭圆经过点P (2)a+b=10,c= | 学生练习
| 检测学习成果
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总结概括
课后提升 | 最后进行课堂小结，先由学生小组讨论，再个别提问，然后集体补充，最后教师才引导和完善。师生应共同归纳本节所学内容、知识规律以及所学的数学思想和方法。
这一节课你收获到了什么？ 布置作业 层次1 1.教材练习A 3.4题 练习B 第二题 2.你能用直尺和圆规作出椭圆上的任意一点吗？作图的依据是什么？根据你的作图方法，能找到与之相应的方法求出椭圆方法吗？
层次2 课后利用【百度搜索】深入的对椭圆的相关知识进行了解。 | 学生总结出在知识、数学思想等方面的收获
| 摆脱传统教学中教师小结的做法，以表格形式出现，让学生自己总结，加深对本节课内容的认识 层次1的目的是强化巩固本节内容 层次2的目的是激发学生学习的兴趣，提高数学文化品位。 |
六、板书设计
七、教学反思
本节课整个教学过程为：提出问题——探索——解决问题——归纳反思——提高。在问题的设计中，从多角度探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，这样的设计不但突出了重点，更使难点的突破水到渠成。
本节课以问题为纽带，以探究活动为载体，学生在自觉进入问题情境后，在问题的指引下和老师的指导下，通过实践、探索、体验、反思等活动把探究活动层层展开、步步深入，亲身经历知识的产生过程。使学生在知识的形成过程中，获得数学的情感体验，享受到成功的乐趣，同时在思想方法运用、思维能力等方面得到提高和发展。课堂进行中通过实际操作、多媒体课件演示等，激发学生的学习兴趣，使学生让学生在生生互动、师生互动中把学生的学习过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程，希望对学生的思维品质的培养﹑数学思想的建立﹑心理品质的优化起到良好的作用。
本节课学生活动较多，知识拓展较深，运算较困难，因此本节课不能按预计完成，剩余问题下节课解决。