2016-12-12 发布者：徐龙宝 浏览数( -)
高三数学中档题练习
一、填空题：
1．若f(x)＝eq \b\lc\{(\a\al(eq \F(a,x)， x≥1，,－x＋3a，x＜1))是R上的单调函数，则实数a的取值范围为 ．
2．记数列{an}的前n项和为Sn．若a1＝1，Sn＝2(a1＋an)(n≥2，n∈N*)，则Sn＝ ．
3．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－6x＋5＝0，点A，B在圆C上，且AB＝2eq \R(,3)，则|eq \o(OA,\d\fo1()\s\up7(→))→＋eq \o(OB,\d\fo1()\s\up7(→))→|的最大值是 ．
4．已知函数f(x)＝x－1－(e－1)lnx，其中e为自然对数的底，则满足f(ex)＜0的x的取值范
围为 ．
二、解答题：
5、如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别为AB，B1C1的中点．
（1）求证：MN∥平面AA1C1C；
（2）若CC1＝CB1，CA＝CB，平面CC1B1B⊥平面ABC，求证：AB^平面CMN．
|
6、已知函数f(x)＝ax3＋|x－a|，aR．
（1）若a＝－1，求函数y＝f(x) (x[0，＋∞))的图象在x＝1处的切线方程；
（2）若g(x)＝x4，试讨论方程f(x)＝g(x)的实数解的个数；
（3）当a＞0时，若对于任意的x1[a，a＋2]，都存在x2[a＋2，＋∞)，使得f(x1)f(x2)＝1024，求满足条件的正整数a的取值的集合．
参考答案二
1．[ EQ \F(1,2)，＋∞) 2．2－2n－1 3．8 4．(0，1)
5、证明：（1）取A1C1的中点P，连接AP，NP．
因为C1N＝NB1，C1P＝PA1，所以NP∥A1B1，NP＝ eq \f(1,2)A1B1． …………………… 2分
在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1∥AB，A1B1＝AB．
故NP∥AB，且NP＝ eq \f(1,2)AB．
因为M为AB的中点，所以AM＝ eq \f(1,2)AB．
所以NP＝AM，且NP∥AM．
所以四边形AMNP为平行四边形．
所以MN∥AP． ……………………………………… 4分
因为APÌ平面AA1C1C，MNË平面AA1C1C，
所以MN∥平面AA1C1C． ……………………………………………… 6分
（2）因为CA＝CB，M为AB的中点，所以CM⊥AB． …………………………… 8分
因为CC1＝CB1，N为B1C1的中点，所以CN⊥B1C1．
在三棱柱ABC－A1B1C1中，BC∥B1C1，所以CN^BC．
因为平面CC1B1B⊥平面ABC，平面CC1B1B∩平面ABC＝BC．CNÌ平面CC1B1B，
所以CN⊥平面ABC． …………………………………… 10分
因为ABÌ平面ABC，所以CN⊥AB． …………………………………… 12分
因为CMÌ平面CMN，CNÌ平面CMN，CM∩CN＝C，
所以AB⊥平面CMN． …………………………………… 14分
6、解：（1）当a＝－1，x[0，＋∞)时，f(x)＝－x3＋x＋1，从而f ′(x)＝－3x2＋1．
当x＝1时，f(1)＝1，f ′(1)＝－2，
所以函数y＝f(x) (x[0，＋∞))的图象在x＝1处的切线方程为y－1＝－2(x－1)，
即2x＋y－3＝0． ………………………………………………… 3分
（2）f(x)＝g(x)即为ax3＋|x－a|＝x4．
所以x4－ax3＝|x－a|，从而x3(x－a)＝|x－a|．
此方程等价于x＝a或eq \b\lc\{(\a\al(x＞a，,x＝1))或eq \b\lc\{(\a\al(x＜a，,x＝－1．)) ………………………………………… 6分
所以当a≥1时，方程f(x)＝g(x)有两个不同的解a，－1；
当－1＜a＜1时，方程f(x)＝g(x)有三个不同的解a，－1，1；
当a≤－1时，方程f(x)＝g(x)有两个不同的解a，1． …………………………… 9分
（3）当a＞0，x(a，＋∞)时，f(x)＝ax3＋x－a，f ′(x)＝3ax2＋1＞0，
所以函数f(x)在(a，＋∞)上是增函数，且f(x)＞f(a)＝a4＞0．
所以当x[a，a＋2]时，f(x)[f(a)，f(a＋2)]，eq \F(1024,f(x))[eq \F(1024,f(a＋2))，eq \F(1024,f(a))]，
当x[a＋2，＋∞)时，f(x)[ f(a＋2)，＋∞)． …………………………………… 11分
因为对任意的x1[a，a＋2]，都存在x2[a＋2，＋∞)，使得f(x1)f(x2)＝1024，
所以[eq \F(1024,f(a＋2))，eq \F(1024,f(a))][ f(a＋2)，＋∞)． ………………………………………… 13分
从而eq \F(1024,f(a＋2))≥f(a＋2)．
所以f 2(a＋2)≤1024，即f(a＋2)≤32，也即a(a＋2)3＋2≤32．
因为a＞0，显然a＝1满足，而a≥2时，均不满足．
所以满足条件的正整数a的取值的集合为{1}． …………………………………… 16分