17.1复数的概念

教学目标：  

 1、理解复数的概念以及复数相等的充要条件 

2、会求虚数单位i的幂

 3. 了解复数集和其他常用数集间的关系 ，会求复数的实部、虚部、纯虚数及0的关系，复数相等的定义，共轭复数的定义  

教学重点：复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等的概念  

教学难点：虚数与纯虚数的区别，复数的概念，共轭复数的概念 

教学课时：2 

教学过程

一、问题情境：

先回忆一下方程求根与数集的扩展过程．

x-3＝0在自然数集N上有解x＝3；

x+9=0在N上无根，引入负整数，把N扩展成整数集Z，x+9=0在Z上有根x=-9

2x+7=0在Z上无根, 引入分数(小数)，把Z扩展成Q, 2x+7＝0在Q上有根x=

x²－3=0在Q上无根, 引入无理数，把Q扩展成R, x²-3=0在的R上有根x=;

至今我们仍认为方程x²+1=0无解，这是因为你现在所知道的“最大”数集就是实数集，而实数集里任何一个数的平方都不可能是负数。那么能否把实数集扩展到“更大”的新数集，从而允许负数开方运算呢？

让我们沿着数学家探索的足迹开始复数的学习吧！

二、合作探究：

1545年，意大利数学家卡当在他的著作《大术》中讨论了这样的问题：是否可以将10分成两部分，使它们的积等于40？请你来试一试。

此时我们非常有必要吧实数集扩展成为一个“更大”的新数集，从而允许负数作开方运算。如果能作这样的扩展的话，这就意味着必须在实数集里加入一些新元素，这些新元素是负数开方的结果．

德国数学家高斯规定，i称为虚数单位 ，它不是实数，不表示具体的数量。

三、建构数学：

1. 复数与复数集

1.虚数单位:

(1)它的平方等于-1，即　; 

(2)i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即i是方程x²=－1的一个根，方程x²=－1的另一个根是－I;

(3) i的周期性：i⁴ⁿ⁺¹=i, i⁴ⁿ⁺²=-1,  i⁴ⁿ⁺³=-i,  i⁴ⁿ=1

2.复数的定义: 一般地，将a+bi（a,bÎR）这类数叫做复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部。

3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即z=a+b i（a,bÎR），叫做复数的代数形式。把复数全体复数构成的集合叫做复数集，用字母C表示。C={z|z=a+bi ,a,bÎR }

4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.

5.复数集与其它数集之间的关系：NZQRC.

2. 复数的关系

(1)复数相等

已知两个复数z₁=a+bi和z₂=c+di，（a , b ,c ,d∈R）则z₁=z₂Û       a=c且 b=d． 

即：若两复数的实部、虚部分别相等，则这两个复数相等；反之，两复数相等，则它们的实部、虚部分别相等．特别地，若复数z=a+bi=0，则a=b=0．

注意：实数与虚数之间，两个虚数之间不能比较大小。

四、数学运用：

    例1 下列数中，哪些是复数？哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？0, 1+ ，2+3i, -1-i, 6i , （3-）i, i, 7．

解【例题讲解时注意讲练结合，不能每一题都是教师讲授】

复数有：0, 1+ ，2+3i, -1-i, 6i , （3-）i, i, 7．

实数有：0, 1+ ，7．

虚数有：2+3i, -1-i, 6i , （3-）i, i ．

纯虚数有：6i , （3-）i, i ．

【我们学习到现在“最大”的数集是复数集了，所有的数都是复数】

例2  求下列复数的实部和虚部；(1)-1+i；(2) i；(3) ；(4)8．

解  (1) -1+i的实部是-1，虚部是1．

  (2)  i的实部是0，虚部是．

  (3) 的实部是 ，虚部是．

  (4) 8的实部是8，虚部是0．

例3  当实数m取什么值时，复数 ( m-2)+( m+5 )i分别是：(1)实数、 虚数、纯虚数？

解  (1)复数的虚部等于0时为实数．由m+5=0，得m=-5．

所以当m=-5时，复数( m-2)+( m+5 )i为实数．

(2) 复数的虚部不等于0时为虚数．由m+5≠0，得m≠-5．

所以当m≠-5时，复数( m-2)+( m+5 )i为纯虚数．

   (3) 复数的实部等于0且虚部不等于0时为纯虚数．

由 得所以当m=2时，复数( m-2)+( m+5 )i为纯虚数．

课内练习1

1. 在下列数中，哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？

        (1)2+；(2)0.618i；(3)i；   (4) 0；      (5) i；

(6) i²；   (7)5i-8；  (8)3-9i；(9)i(1-)；(10)2-i．

2. 下列各复数的实部和虚部各是什么？

    (1)-5+6i； (2)-i； (3) i； (4)0； (5)-i．

3. 实数m取什么值时，复数z=(m-1)+ (m+4)i是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数？

4. 实数m取什么值时，复数z=(m²+m-2)+(m²-1)i是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数？

例4            求下列等式中的实数a，b的值；

(1)    a+3i=-1-bi；   （2）1+a+（b-2）i=0；   （3）（a+b）+(a-b)i=6i．

解　(1) a =-1,且3=- b  a =-1，且b =-3．

(2) 1+a=0,且b-2=0 a =-1，且b =2．

(3) a+b =0,且a-b=6 a =3，且b =-3．

课内练习2

1. 指出下列复数中哪些是相等的：

z₁=-i,  z₂=2+2i,  z₃=+i,  z₄=i,  z₅=4+6i,

z₆=3+2i,   z₇=4-6i,  z₈=8, z₉=3+3i,  z₁₀=+()²i．

2、求满足下列等式的x与y(x, yÎR)的值：

(1)(3x+2y)+(5x-2y)i=17-2i；  (2)(x+y-3)+(x-4)i=0．

 (3)共轭复数：一般地，把实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫做共轭复数，且把复数z的共轭复数记作．即：若 z=a+bi(a、b∈R)，则=a-bi．

从共轭复数的定义可知 ①z= Û z的虚部为0，即z是一个实数；  ②=z，

也就是说共轭复数的共轭等于本身(自返性)；例如

z=2+3i，；

    例5  写出下列复数的共轭复数．

    (1)z₁=-5i；(2)z₂=+i；z₃=-7i；z₄= ．

解  (1)= +5i；=-i；=7i；=．

【可见，实数的共轭复数就是它本身】

例6　已知z的共轭复数，求z：

 (1)=1-i；(2)= -1+i；(3)=2i．

解  因为z，所以(1) z=1+i；(2) z=-1-i；(3) z=-2i．

课内练习3

1. 求下列复数的共轭复数：

　  (1)1-i,；  (2)4i+3；  (3) - 4i；  (4)0；   (5)-7+i．

    2. 已知z的共轭复数，求z：

(1)=；(2)=9i；(3)=-4+i；(4)=4-i．

3.已知=-4-3i，其中x, yÎR，求x与y．

五、回顾反思：

1.虚数单位:　; 

2. i的周期性：⁴ⁿ⁺¹=i, ⁴ⁿ⁺²=-1,  ⁴ⁿ⁺³=-i,  ⁴ⁿ=1

3.复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示

4. 复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式

5. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0

6.复数集与其它数集之间的关系：NZQRC

7.虚数没有大小

8.两个复数相等的充要条件是“实部相等且虚部相等”

9.实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫做共轭复数

10.实数的共轭复数是它本身

六、课后作业：

七、教学反思