直线与平面垂直

知识梳理：

1、定义：如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面内过交点O的直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直，这条直线叫做       ，这个平面叫做        ，交点叫做          ．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的        ，垂线段的长度叫做           ．

2、判定定理：                                                

其符号语言为                                                .

3、性质定理：                                               

其符号语言为                                               
.

4、推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条也垂直于这个平面．

其符号语言为                                   .

5、注：

（1）过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.

（2）一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任意一条直线.

思考：

如果一条直线与一个平面内的无数条直线垂直，则这条直线和这个平面是否垂直？

课前热身：

1．直线


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 




直线

，

平面

，则

与

的位置关系是________．

2．垂直于同一平面的两条直线________．

3．已知直线

、

和平面

满足

则

与

的位置关系为________．

例题展示：

【例1】

如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．

证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE；

【例2】

【例3】

如图，在正方体

中，

是

的中点，

是底面正方形

的中心．求证：

平面

.

随堂练习：

1.有下列四个命题：

①若一条直线垂直于一个平面内无数条直线，则这条直线与这个平面互相垂直；

②若两条直线互相垂直，其中一条垂直于一个平面，则另一条直线与该平面平行；

③若两条直线同时垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行；

④若一条直线和一个平面不垂直，则这个平面内不存在与该条直线垂直的直线．

其中错误的命题是_______________.

2．设

为不重合的平面，

为不重合的直线，则下列命题正确的是________．

①若

，则

    ②若

，则

③若

，则

    ④若

，则

3．设

是两条不同的直线，

是两个不同的平面，则能得出

的是________．

①

                ②

③

                ④

回顾小结：

证明线面垂直的方法和常用结论

(1)利用线面垂直的定义．

(2)利用线面垂直的判定定理．

(3)两平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面．

(4)两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面．

(5)一直线垂直于两平行平面中的一个，那么它必定垂直于另一个平面．

(6)两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面的交线垂直于第三个平面．

课后作业：