《等比数列的概念》教学设计

江苏省郑梁梅高级中学   庞娟  邮编：223400

一、设计理念：

随着教学理念的的转变，数学课堂教学已经不再传统的那种灌输式的、填鸭式的教学模式，我们在课堂教学中要更多的以学生为主，要精心设计好每一节课的教学环节，要精细到每一个问题以及提问的方式，以便让学生不光是在课堂上学习到知识，更重要的是要让学生在学习的过程中学会学习，通过自己发现问题解决问题，从而使学生不光在知识方面得到拓展、延伸，同时还在思维、创新意识方面也能够得到提升。为此，本节课我将以问题为中心，以探索为主线，以培养学生思维能力和创新意识为核心的数学课堂教学模式.课堂上采用学生“自主、合作、探索”的教学方式，教师充当组织者、服务者的身份，以生活中的实际问题激发学生的学习兴趣。以探索问题引导学生对数学问题进行自主观察、比较、分析、综合、抽象和概括.在本节课堂教学中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大的激发了学生的学习兴趣，这是我在本节课中所倡导的数学教学理念。

二、教材分析：

本节课《等比数列》是高一必修5第二章第三节第一课时的内容。主要研究等比数列的定义、通项公式及简单应用，是本章的重点内容之一。等比数列在我们江苏考试说明中要求为C级，要求学生能达到综合应用的能力。一方面数列与前面学习的函数等知识有密切的联系;另一方面，学习等比数列又可以与前面学习等差数列内容进行对比。学习数列要经常观察、分析、归纳、猜想、验证，还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题.对于等比数列的学习，无论在知识上，还是在思维上都可以借鉴等差数列的学习方法。

三、教学目标

1.知识与技能：

    理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式以及基本量的求法。

2.过程与方法：

    通过对表格中数据的观察、分析、探究得到等比数列的概念，提高学生的观察、探究、归纳的能力

3.情感、态度与价值观：

    1．通过学生的主动参与相互协作，提高学生的学习兴趣，同时培养学生的团队合作精神；

    2．通过生活中的具体实例，发现等比数列的特征，并利用等比数列知识解决生活中的具体问题，体会学习数学的实际应用价值。

四、教学重点

1．等比数列定义的理解与掌握；

2．等比数列通项公式的推导与应用。

五、教学难点

等比数列概念的理解和应用。

六、教学方法：启发式教学

启发学生逐步发现和认识等比数列“等比”特点及探索出等比数列的通项公式。

七、教学手段   多媒体教学平台

通过多媒体展示使学生获得直观感受的同时，也为掌握理性知识创造了条件，这样既激发学生学习兴趣，同时更能抓住学生的注意力，符合学生的认知规律。本节课将以学生为主体以教师为协作者、组织者的教学方式。

八、教学过程

（一）背景问题——创设情景

教师：前面我们共同学习了数列的概念及给出数列的两种方法——通项公式和递推公式。这两个公式从不同的角度反映了数列的特点。下面请同学们观察两个表格的数据。（多媒体大屏幕显示）

表（一）（单位：万）

 
 
 
 
 
 
 


 
 
 
 
 
 
 


 
 
 
 
 
 
 

	01	02	03	04	05	06
人口总量	20	40	80	160	320	640
耕地面积	24	48	84	168	336	672

表（二）（单位：万元）

 
 
 
 
 
 
 


 
 
 
 
 
 
 


 
 
 
 
 
 
 

	2004年	2005年	2006年	2007年	2008年	2009年
轿车售价	36	36*0.9
折旧后价	36*0.9

（为了便于研究，上述表格中的数据已经经过近似处理）

思考问题（一）：上述表格中的数据变化反映了什么样的信息？（数据来源于现实社会，让学生围绕思考问题分组讨论，目的是培养学生将实际问题

数学化的能力及数学建模能力。）

 教师：从两方面考虑：

 （1）从宏观上（移居大城市，计划生育，围海造田）；

 （2）从微观上（数学研究的对象是数，我们抛开具体的背景，从微观上分析，从表格中抽象出一般数列）。

 表（三）：

 
 
 
 
 
 


 
 
 
 
 
 


 
 
 
 
 
 


 
 
 
 
 
 


 
 
 
 
 
 

20	40	80	160	320	640
24	48	84	168	336	672
36	36*0.9
36*0.9

学生活动（1）：学生观察、分析上述表格中的每一行数据

教师：同学们能用数学文字语言来描述上述数列的共同特征吗？

学生1：后一项与它的前一项的比等于常数。

教师：反例：1，2，4，,0，16，32，这样的数列特征和上述数列一样吗？

学生：不一样，不能有0出现。

学生2：每一项与前一项的比等于同一常数。

教师：反例：2，4，16，64，256，这样的数列特征和上述数列一样吗？

学生：不一样，必须从第二项起.

学生3：从第二项起，每一项与前一项的比等于同一常数。

（教师板书等比数列的定义，通过上述反例的说明，让学生深刻理解这四组数列的共同特征：（1）从第二项起；（2）同一常数；（3）不能有“0”

教师：用数学符号语言表示上述定义.

学生活动（2）：学生合作、讨论、交流、抽象、概括。

数学语言：

是常数，

，

或

是常数，

教师:这样的数列在你日常生活中存在吗?

 学生举例:

2,4,8,16,32,64,128,256…

 

729,243,81,27,9,3,1…

1，1，1，1，1，1，1，…

 教师:回到表格中抽象出的4个数列分别说出它们的公比。

探索问题（一）:

    数列{

}是等比数列吗？如果是，请给以证明；如果不是，请说明理由。

【设计意图：学生经过交流与合作并、相互探讨论证，从而加深对等比数列概念的理解、掌握】

思考问题（二）:

已知一个无穷等比数列的首项为

，公比为

，(多媒体大屏幕显示学生分组讨论)

① 将数列中的前

项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项和公比分别是多少？

② 取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项和公比分别是多少？

③ 取出数列中的所有项数为3的倍数的各项，组成一个新的数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项和公比分别是多少？

【设计意图：理解等比数列的概念是这节课的难点，为了突破这个难点，我通过这几个问题，在这样的问题串情境中，全部教学过程由学生去思考问题，解决问题，突出以学生为主体的教学方式。】

探索问题（二）：

若等比数列

的首项是

，公比是

，则可以求

,

,…，

，…，即求数列

的任意一项，这说明这个数列的任意一项都可用

和

表示，即这个数列应有一个通项公式。

学生活动（3）：探索、猜想、证明.

学生1：

即

即

即

…

由此可得：

（

）

当

时也成立.整理得：

（

）

学生2：

…

（

）

上述式子左右两边分别相乘可得：

，即

（

）

当

时也成立.整理得：

（

）

学生3：

因为





…

又因为

所以有：

（

）

当

时也成立.整理得：

（

）

教师小结：大部分学生用不完全归纳法，通过个别同学补充叠加法与拆项法，从而得到等比数列的通项公式为：

，其中

是这个数列的首项，

是公比。

思考问题（三）：等比数列{

}中，

=10，

= 2数列的通项公式是什么？

（

）

那么要求等比数列的通项公式只需求什么？（

和

）

学生活动（4）：

同学自己编出已知等比数列的首项和公比求通项公式的问题并解决。

【设计意图：通过这个问题让学生体会等比数列中的基本量，加深理解等比数列的定义及通项公式中的基本量。】

思考问题（四）：求等比数列8，4，2，…的第20项.

    导析：由

=8，

，

得，

思考问题（五）：-400是不是等比数列-1，-10,-100，…，的项？如果是，是第几项？

导析：由

，得，

由题意可知，本题是要回答是否存在正整数

，使得-400 =

成立，解之得



，即-400不是这个数列的项.

问题延伸：如果已知等比数列中任意两项，能不能求出

呢？

学生举例：在等比数列{

}中，已知

，求

.

解：

解得

，则

教师：此解法是利用数学的函数与方程的思想，函数与方程的思想是重要的数学思想方法之一，应熟练掌握。

教师：由

能够有什么启示？

学生：

，于是有

（第二通项公式）

所以上题还可先求出



，那么

. 

形成检测，反馈回授：

1．求等比数列1，4，16，…的第6项与第15项.

2．200是不是等比数列2，4，8，…中的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.

3．-27是不是等比数列1，-3，9，…中的项？如果是，是第几项？如果不是说明理由.

注：由此题的“奇数项同号，偶数项同号”

4．已知等比数列中，

，求

与

.

5．已知等比数列中，

，求

.

九、课时小结

师：这节课你们学到了什么？

教师鼓励学生积极回答，答不完整的没有关系，其它同学补充.以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力.并用多媒体把学生的归纳用一张表展示出来。

学生：①等比数列定义.

即

是常数，

，

或

是常数，

 ②等比数列通项公式

第二通项公式：

 十、知识拓展

我们已经学习了数列的通项公式是关于

的函数，那么等比数列的通项公式是关于

的怎样的函数？（当

时，是常函数，当

≠1时，是关于

的指数函数）从图象上看呢？（表示直线上无穷多个孤立的点）

动画演示

如：-1， 1，-1，,1，-1,1，…

8,4,2,1，…

1,1,1,1,1,1，^

通过以上观察，你能发现首项

和公比

对

的图象的影响吗？（课下讨论）

十一、课后作业

课后练习题1、2、3 

附板书设计：

 


 
 

等比数列
一、定义：       是常数，     ，   或     是常数，        注：非零常数即比与     无关！   二、通项公式：          第二通项公式：	公式推导过程      例题讲解