导数与函数的单调性教学设计

教学过程：

【引例】

函数解：在上是减函数，在上是增函数。

在上是减函数，在上是增函数2、研究函数的单调区间你有哪些方法？

观察图象的变化趋势；（函数的图象必须能画出的）

利用函数单调性的定义。（复习一下函数单调性的定义）

2、确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数哪个区间内是减函数【】f(x)=2x3－6x2+7的单调区间也不容易。

【】f(x)=2x3－6x2+7的图象；

学生自己画图研究探索。

提问：以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的？

（开口方向，对称轴）既然要寻求一个新的办法，显然要换个角度分析。

提示：我们最近研究的哪个知识（通过图象的哪个量）能反映函数的变化规律？

学生继续探索，得出初步规律。几何画板演示，共同探究。

得到这个二次函数图象的切线斜率的变化与单调性的关系。（学生总结）：①该函数在区间上单调递减，切线斜率小于0，即其导数为负；

在区间上单调递增，切线斜率大于0，即其导数为正；切线斜率于0，即其导数为；②就此函数而言这种规律是否一致？是否其它函数也有这样的规律呢？

2、先看一次函数图象；

3、再看两个我们熟悉的函数图象。（验证）

观察三次函数的图象；（几何画板演示）

观察某个函数的图象。（几何画板演示）

指出：我们发现函数的单调性与导数的符号有密切的关系。这节课我们就来学习如何用导数研究函数的单调性（幻灯放映课题）。

【】一般地，设函数在某个区间可导，则函数在该区间内

如果，则为这个区间内的增函数；

如果，则为这个区间内的减函数。，则为常函数。

这个结论是我们通过观察图象得到的，只是一个猜想，正确吗？答案是肯定的。严格的证明需要用到中值定理，大学里才能学到。这儿我们可以直接用这个结论。

小结：数学中研究问题的常规思想方法是：从特殊到一般，从简单的复杂。

结论应用：

由以上结论知：函数的单调性与其倒数有关，因此我们可以用导数法去探讨函数的单调性。下面举例说明：

【例题讲解】

在上是增函数。

由学生叙述过程老师板书：即，函数在上是增函数。

注：我们知道在R上是增函数，课后试一试，看如何用导数法证明。

学生归纳步骤：1、求导；2、判断导数符号；3、下结论。

确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f′(x)=(2x3－6x2+7)′=6x2－12x令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0

∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数当x∈(2，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2.∴当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.

小结：用导数求函数单调区间的步骤：

确定函数f(x)的定义域；

求函数f(x)的导数f′(x).

令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间.

令f′(x)＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间

【课堂练习】

1．确定下列函数的单调区间

(1)y=x3－9x2+24x 
(2)y=x－x3

(1)解：y′=(x3－9x2+24x)′=3x2－18x+24=3(x－2)(x－4)

令3(x－2)(x－4)＞0，解得x＞4或x＜2.

∴y=x3－9x2+24x的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)

令3(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4.∴y=x3－9x2+24x的单调减区间是(2，4)

(2)解：y′=(x－x3)′=－3x2=－3(x2－)=－3(x+)(x－)

令－3(x+)(x－)＞0，解得－＜x＜.

∴y=3x－x3的单调增区间是(－，).

令－3(x+)(x－)＜0，解得x＞或x＜－.

∴y=3x－x3的单调减区间是(－∞，－)和(，+∞)、设是函数的导数, 的

图象如图所示,  则的图象最有可能是(    
)  

【】1.函数导数与单调性的关系:若函数y=f(x)在某个区间内可导,

如果f
′(x)>0, 则f(x)为增函数;如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数.

2.本节课中,用导数去研究函数的单调性是中心,能灵活应用导数解题是目的,另外应注意数形结合在解题中的应用.

3.掌握研究数学问题的一般方法:从特殊到一般,从简单到复杂.

【】对于函数f(x)=2x3－6x2+7

思考1、能不能画出该函数的草图？思考2、在区间（0，2）内有几个解？【】