2017-03-03 发布者：刘须平 浏览数( -)
钉子板上的多边形
宿豫区关庙中心学校 刘须平
教学目标
1.使学生探索并发现钉子板上围成的多边形的面积与围城的多边形边上的钉子数、多边形内部钉子数之间的关系，并会用字母式子表示关系。
2.使学生经历探索钉子板上围成的多边形面积与相关钉子数间的关系的过程，体会规律的复杂性和全面性，体会归纳思维，体会用字母表示关系的简洁性，发展观察、比较、推理、综合和抽象、概括等思维能力。
3.使学生获得探索规律成功的体验，树立学习数学的自信心，感受数学规律的奇妙，对数学产生好奇心，提高学习数学的兴趣和积极性。
学情分析
这是一次研究平面图形面积的活动，安排在形成了面积概念，掌握了常用面积单位，能计算简单图形面积的基础上进行。在钉子板上围图形、数钉子的枚数、算图形的面积，这些都是学生喜欢做、能够做的事情，他们会乐意参与这次活动。然而，钉子板上围出来的图形大多数不是规则图形，也不是简单图形，求它们的面积没有现成的方法可以使用，得出图形的面积比较难。而且，这次活动要探索围成的图形面积与图形边上的钉子枚数之间的关系，还要用含有字母的式子表达这种关系，有相当的难度。
重点难点
重点：探索钉子板上多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系。
难点：综合、归纳多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系。
教学过程
活动1【导入】
1．出示钉子板：低年级我们就已经通过在钉子板上围一围，认识了多边形。
2．课件出示点子图：现在老师把钉子板画下来，就成了“点子图”。
这里的一点就是表示——1枚钉子。每相邻两个点之际距离是多少？一格的面积是多少？
3．点子图是国际上通用的数学学习的工具。
今天这节课我们就借助点子图，研究钉子板上的多边形。（板书课题）
活动2【讲授】
1．课件围三角形：老师在点子图上围了个什么图形？
（1）仔细观察用了几个钉子？
指出：像这样在多边形边上的钉子，我们叫做多边形边上的钉子。（出示）
追问：这个三角形边上的钉子数是多少枚？
（2）课件演示：这枚钉子叫做什么呢？指出：在多边形中间的钉子，称作多边形内的钉子。
追问：这个三角形内的钉子有几枚？
2.感受多边形边上钉子数的因素
课件演示：你发现了什么？
引导：什么变了？有没有什么没变？
3. 感受多边形边内的钉子数的因素
课件演示：还是这个三角形，现在呢？有什么发现？
引导：引导：什么变了？有没有什么没变？
4．思考：现在你觉得钉子板上的多边形面积和什么有关？（板：多边形的面积）
相机板书：多边形边上的钉子数、多边形内的钉子数
5.小结：根据同学们的观察，钉子图上的多边形面积与多边形内的钉子数和边上的钉子数有关，它们之间是否存在一定的规律呢？我们继续往下研究。
活动3【活动】探索一
1．出示例题、明确前提
出示例题：钉子板上的这4个图形形状一样吗？形状不同的这四幅多边形，它们有什么相同的地方？（板：1）
2．师生活动，获取规律
（1）学生独立填表
师：多边形内的钉子数是1枚的情况下，这4个形状不同的多边形面积会有怎样的变化呢？
请你仔细观察、快速完成下面这张表格，完成后观察比较数据，和你的同桌说说有什么发现？
学生独立活动。
（3） 展示交流、明确面积计算方法
指名学生交流：谁来说说图形1-4的面积和边上的钉子数分别是多少？
相机提问：这个多边形的面积你是怎么得到的？
（4）发现规律：观比较这张表格的数据后，你的发现是什么？
全班交流：①多边形边上的钉子数越多，面积越大。
②多边形的面积等于多边形边上钉子数的一半。
（5）用含有字母的式子表示规律
追问：那如果按照你们的发现，如果多边形边上的钉子数是10枚，面积可能会是？20枚？24枚呢？说的完吗？
如果用S表示钉子板上多边形的面积，n表示多边形边上的钉子数，你能用字母表达式表示我们的发现吗？（板S=n÷2）
2．举例验证规律
（1）引导：字母式子S=n÷2表示什么意思？这个发现仅仅是你们根据老师给的四个图形观察、比较发现的，并不能说明钉子板上所有内部有1枚钉子的多边形都符合我们的发现，还需要我们举例来验证规律的正确性。
（2）要求：下面我们就来验证内部有1枚钉子的多边形规律的正确性，先看活动要求：课件演示：图形（在钉子图上画出内部有1枚钉子的多边形）、观察（面积和边上钉子数）；数据（获取相关数据）、表格（填入点子图下面的表格）；比较（计算）、验证（比较、验证规律的正确性）。
学生独立活动。
（3）展示交流。指明说说：你画的是怎样的多边形？你来介绍一下。你的结论是什么？
教师随后相机展示学生其他其他作品。适时追问：这些同学画的多边形形状，面积和边上的钉子数也各不相同，但它们有什么共同的地方？
3、归纳概括，形成结论
提问：谁再来说说，通过探究、验证我们的发现是什么？
多边形面积=边上钉子数÷2，它们有什么共同的特点？
强调：看来要使多边形的面积S=边上钉子数n÷2成立，还要加个前提“多边形内的钉子数是1枚。”
活动4【活动】探索二
1．提出质疑(出示内有两枚钉子的多边形)
问：这两个多边形和刚才研究的多边形有什么不同？（板书：2）
这两个多边形面积还会=边上钉子数n÷2吗？多边形内的钉子数是2枚的情况下，它们的面积会不会有什么新的变化呢？
2.小组合作，探究形内有2枚钉子的规律
师：现在请你们四人一小组，小组合作探究多边形内部有2枚钉子的情况下，多边形的面积是正好等于边上钉子数÷2，还是会有什么新的变化？
先看活动要求：
（1）观察给出的两个内有两枚钉子的多边形，数一数、算一算面积和边上的钉子数。
（2）画1个内部有2枚钉子的多边形，数出边上的钉子数，算出它的面积；
（3）每人把获得的数据填入表格并在小组内交流；
（4）观察表格中的数据，小组讨论交流：你有什么发现？
学生操作、填表、比较、思考，教师巡视。
3．交流讨论，探究规律
学生作品展示（至少2组），汇报交流。
（1）指名代表交流：来介绍下，你们一组画的是怎样的多边形？
适时引导：它们有什么共同特征？
（2）说相关数据，前两个及时反馈。
（3）你们组的发现。
（4）第二组交流，指名说说发现。
（5）其他组：你们组画的多边形也符合这样的规律吗？
4．用字母式子表示规律。
汇总：通过刚才的探究，我们最终的结论是什么？
师：用含有字母的式子来表示这一规律应该怎么写？
板书：当多边形内钉子枚数是2时，S= n÷2＋1
问：S= n÷2＋1这个含有字母的式子表示什么意思？
5.教师小结：通过刚才的研究，当多边形内钉子个数不同时，多边形的面积与边上的钉子数之间的关系也发生了变化。
活动5【活动】探索三
1. 猜想多边形内多枚钉子的规律。
提问：（板：3）猜想一下多边形内钉子个数是3枚时，会是怎样的呢？
（板书： 3 S=n÷2+2 ？）
多边形内钉子个数是4枚时，会是怎样的呢？5枚呢？
师：你们的猜想是否正确呢，这就需要我们进行验证。（板：？）
2.画图举例，验证猜想。
（1）师：请同学们按照刚才的小组活动要求，小组合作来进行验证，分分工，首先画出多边形内有3枚、4枚……钉子的多边形并观察、取得数据并填表、比较、计算再验证。
（2）小组活动：让学生在点子图上画出图形，验证上面的猜想。
（3）交流：你画出的是怎样的多边形，验证的结论是什么？
评价反馈。追问：谁再来说说我们的结论？
确认：当多边形内钉子数是3时，面积S就等于n÷2+2 。（擦除上面板书中的“？”）
3. 拓展延伸，揭示规律。
（1）引导学生观察关系式：当多边形内钉子个数1时 S=n÷2
当多边形内钉子个数2时 S=n÷2+1
当多边形内钉子个数3时 S=n÷2+2
当多边形内钉子个数4时 S=n÷2+3
按照你们的发现，这里的规律还能继续往下说吗？可以说多少个？
当多边形内的钉子数a个，多边形的面积和边上的钉子数有怎样的关系呢？
用含有字母的式子可以怎么表示？（板：S=n÷2+a-1）
（2）思考：S=n÷2+a-1，什么意思？
（面积=钉子数一半加内部钉子数-1）
当多边形内的钉子数a个时，多边形的面积等于边上钉子数的一半加内部钉子数减1。
（3）验证特例
师：这里的a可以是多少？1、2、3、4……
问：a为0表示什么意思？这时字母式子可以怎么表示？（0 S=n÷2+0-1也就是 S=n÷2-1 ）
我们找2个图形来验证下。呈现2个相应的图形数一数，发现：
面积是多少？边上钉子数？钉子数一半减1是多少？符合规律吗？
活动6【活动】小结
1．总结规律
指出：同学们，看来用“S=n÷2+a-1”这样一个含有的字母式可以子表示出今天这节课我们发现的所有规律。
谁能用一句话说说我们今天这节课的所有发现？（多边形的面积等于边上钉子数的一半加内部钉子数减1。）
2.介绍皮克定理
师：S=n÷2+a-1，也就是是我们今天所研究的钉子板上的多边形的奥秘——皮克定理。奥地利数学家皮克（1859-1943）在1899年发现了上述公式，并进行了证明。这个公式被称为“皮克定理”，该定理被誉为有史以来“最重要100个数学定理”之一。
3.总结：今天我们一起研究了钉子板上多边形面积与钉子数之间的关系。在研究的过程中，我们发现，要从各种不同情况的多边形中研究，要善于发现不同多边形中的共同点，比如形状、大小不同的多边形中都有几个钉；发现的不同关系式中的共同规律等。在探索规律时，一定要注意认真观察、反复比较，举例验证。表示数学规律一般用含有字母的式子，它具有简洁、明了、易记的特点。
活动7【作业】
运用规律，计算面积。（图略）这样复杂的多边形要不要分割成多个图形呢？直接用S=n÷2+a-1计算。实际上数学学习就在我们的日常生活中，只要我们多观察，多思考，一定也能发现其中的数学规律，这节课就上到这里。