3.3 幂函数教学设计

东方市民族中学数学组  叶世成

幂函数是在继一次函数、反比例函数、二次函数之后，又学习了单调性、最值、奇偶性的基础上，借助实例，总结出幂函数的概念，再借助图像研究幂函数的性质.

课程目标

1、理解幂函数的概念，会画幂函数y=x，y=x²，y=x³，y=x^－1，y=x的图象；

2、结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质；

3、通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力．

数学学科素养

1.数学抽象：用数学语言表示函数幂函数；

2.逻辑推理：常见幂函数的性质；

3.数学运算：利用幂函数的概念求参数；

4.数据分析：比较幂函数大小；

5.数学建模：在具体问题情境中，运用数形结合思想，利用幂函数性质、图像特点解决实际问题。

重点：常见幂函数的概念、图象和性质；

难点：幂函数的单调性及比较两个幂值的大小．

教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、 情景导入

学生阅读课本89页五个实例，求解析式？观察五个解析式有什么共同特征？     

问题1：如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要付的钱数p=w元，这里p是w的函数.

问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a²，这里S是a的函数.

问题3：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积V=a³，这里V是a的函数.

问题4：如果正方形场地的面积为S，那么正方形的边长a=S，这里a是S的函数.

问题5：如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v=t^－1 km/s，这里v是t的函数.

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、 预习课本，引入新课

阅读课本89-90页，思考并完成以下问题

1. 幂函数是如何定义的？ 2. 幂函数的解析式具有什么特点？ 

3. 常见幂函数的图象是什么？它具有哪些性质？ 

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、 新知探究

1．幂函数

一般地,函数y=x^α叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数. 

2、幂函数的性质

四、典例分析、举一反三

题型一    幂函数的概念

例1 函数f(x)=(m²-m-5)x^m-1是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,试确定m的值. 

【答案】m=3

【解析】根据幂函数的定义,得m²-m-5=1,解得m=3或m=-2. 

当m=3时,f(x)=x²在(0,+∞)上是增函数; 

当m=-2时,f(x)=x^-3在(0,+∞)上是减函数,不符合要求.故m=3. 

解题技巧：（判断一个函数是否为幂函数）

判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=x^α(α为常数)的形 式,即:(1)系数为1;(2)指数为常数;(3)后面不加任何项.反之,若一个函数为幂 函数,则该函数必具有这种形式.

跟踪训练一

1.如果幂函数y=(m²-3m+3)的图象不过原点,求实数m的取值. 

【答案】m=1或m=2.

【解析】　由幂函数的定义得m²-3m+3=1,解得m=1或m=2; 

当m=1时,m²-m-2=-2,函数为y=x^-2,其图象不过原点,满足条件; 

当m=2时,m²-m-2=0,函数为y=x⁰,其图象不过原点,满足条件. 

综上所述,m=1或m=2. 

题型二   幂函数的图象与性质

例2　已知函数y=x^a,y=x^b,y=x^c的图象如图所示,

则a,b,c的大小关系为 (　　) 

A.c<b<a       B.a<b<c    C.b<c<a       D.c<a<b

【答案】A

【解析】由幂函数的图象特征,知c<0,a>1,0<b<1.故c<b<a. 

解题技巧：(幂函数图像与性质)

1.本题也可采用特殊值法,如取x=2,结合图象可知2^a>2^b>2^c,又函数y=2^x在R上是增函数,于是a>b>c. 

2.对于函数y=x^α(α为常数)而言,其图象有以下特点: 

(1)恒过点(1,1),且不过第四象限. 

(2)当x∈(0,1)时,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”);当x∈(1,+∞)时,指数越大,幂函数的图象越远离x轴(简记为“指大图高”). 

(3)由幂函数的图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x^-1或y= y=x,y=x³)来判断. 

(4)当α>0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上都是增函数;当α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上都是减函数. 

跟踪训练二

1.如图所示,曲线C₁与C₂分别是函数y=x^m和y=xⁿ在第一象限内的图象,则下列结论正确的是(　　) 

A.n<m<0  B.m<n<0    C.n>m>0 D.m>n>0

【答案】  A

【解析】画出直线y=x⁰的图象,作出直线x=2,与三个函数图象交于点(2,2⁰),(2,2^m),(2,2ⁿ).由三个点的位置关系可知,n<m<0.故选A. 

题型三   利用幂函数的单调性比较大小

例3 比较下列各组中两个数的大小:

(1);   (2);   (3).

【答案】见解析

【解析】(1)∵幂函数y=在[0,+∞)上是增函数,又,∴.

(2)∵幂函数y=x^-1在(-∞,0)上是减函数,又-<-,∴.

(3)∵函数y₁=在定义域内为减函数,且,∴.

又函数y₂=在[0,+∞)上是增函数,且,∴.∴.

解题技巧：（比较幂函数大小）

1.比较幂大小的三种常用方法 

2.利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题

比较大小的两个实数必须在同一函数的同一个单调区间内,否则无法比较大小. 

跟踪训练三

1. 已知a=,b=,c=2,则(　　)

A.b<a<c    B.a<b<c    C.b<c<a    D.c<a<b 

【答案】A

【解析】　∵a==1,b==1,c=2, ∴a>b,a<c,∴b<a<c. 

五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

六、板书设计

七、作业

课本91页习题3.3

本节主要学习了一类新的函数：幂函数。主要就幂函数的形式定义、图像性质、比较大小三方面学习幂函数.尤其比较大小与前面函数单调性密切相关，因此本节课需要学生熟记定义及图像特征.