《实际问题与二次函数》

 第一层次：教学背景分析

一、教学分析

1、 教材地位、作用

《实际问题与二次函数》是人教版教材九年级下册第二十六章第三节的内容，是在学生已学过二次函数的图象和性质基础上，进一步研究应用二次函数性质解决生活，生产实问题，掌握本节内容，不仅有利于培养学生数学建模能力，以及应用模型去解决实际问题的能力，更有利于增强学生“用数学”的意识。

2、 教学目标

知识目标：经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值．

能力目标：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力．　　

情感态度目标：让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力．

3、 教学重点和难点

     重点:

     (1)探索销售中最大利润问题．

   (2)能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值，发展解决问题的能力．

难点：运用二次函数的知识解决实际问题．

    二、学情分析：

  1、九年级学生在新课的学习中已掌握二次函数的定义,图像及性质等基本知识.

  2、学生的分析,理解能力较学习新课时有明显提高.

   3、学生学习数学的热情很高,思维敏捷,具有一定的自主探究和合作学习的能力.

  4、学生能力差异较大,两极分化明显.

    三、教学方法:

 1．师生互动探究式教学,遵循教师为主导,学生为主体的原则,结合初三学生的求知心理和已有的认知水平开展教学.形成学生自动,师生互动,教师着眼于引导,学生着眼于探索,侧重于学生能力的提高,思维的训练.同时考虑到学生的个体差异,在教学的各个环节中进行分层施教,让每一个学生都能获得知识,能力得到提高.

 2.运用多媒体进行辅助教学,既直观,生动地反映图形变换,增强教学的条理性和形象性,又丰富了课堂的内容,有利于突出重点,分散难点,更好地提高课堂效率.

 3.设计思路:不把复习课简单地看作知识点的复习和习题的训练,而是通过复习旧知识,拓展学生思维,提高学生学习能力,增强学生分析问题,解决问题的能力.

第二层次：教学展开分析

 （一）、创设情境，导入新课。

师：某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是2.5元．根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.5元时，销售量是500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件．

问：请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利最多？

生1：设销售单价为x(x≤13.5)元，那么

(1)销售量可以表示为________；

(2)销售额可以表示为________；

(3)所获利润可以表示为________；

(4)当销售单价是________元时，可以获得最大利润，最大利润是________．

生2：设总利润为y元，则

y＝－200x²＋3700x－8000

＝－200(x－9.25 )²＋9112.5 ．

∵－200＜0，

∴抛物线有最高点，函数有最大值．

当x ＝9.25元时，

y最大 ＝9112.5元．

即当销售单价是9.25元时，可以获得最大利润，最大利润是9112.5元．

（创设问题情景，让学生从生活中发现数学问题，激发学生学习数学的兴趣。让学生体会引入二次函数概念的现实背景，感受其实际意义。注意让学生在学习的过程和实际应用中逐步深化对概念的理解和认识。）

（二）、探索交流、解决问题。

师：还记得本章中的习题"种多少棵橙子树"的问题吗？我们得到表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的二次函数表达式y＝(600－5x)(100＋x)＝－5x²＋100x＋60000．

我们还曾经利用列表的方法得到一个猜测，现在验证一下你的猜测是否正确？你是怎么做的？与同伴进行交流．

生：因为表达式是二次函数，所以求橙子的总产量y的最大值即是求函数的最大值．

所以y＝－5x²＋100x＋60000

＝－5(x²－20x＋10²)＋60000+5×10²

＝－5(x－10)²＋60500．

当x＝10时，y最大＝60500．

（通过归纳、分析，使学生明白二次函数的特征，理解其解析式的特点。经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程，体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型。

教师应该关注：（1）学生能否找出各表达式的自变量，自变量的函数；（2）学生能否归纳、概括出这个函数关系式的特点。）

（三）、巩固应用，升华提高。

(1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系．

(2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上？

(1)当x＜10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加；当x＞10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而减小．

(2)由图可知，增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵，都可以使橙子总产量在60400个以上．

（这是一道二次函数的实际应用问题，通过解答，提高学生分析问题、解决问题的能力。让学生在独立思考的基础上，参与对问题的讨论，锻炼学生的表达能力，培养学生的合作意识。引导学生感受数学的价值。

教师要关注学生能否从实际问题出发，求出问题的解。）

（四）、变练演变，提升拓展。

出示：1、已知一个矩形的周长是24cm．

(1)写出这个矩形面积S与一边长a的函数关系式．

(2)画出这个函数的图象．

(3)当a长多少时，S最大？

分析：还是有关二次函数的最值问题，所以应先列出二次函数关系式．

(1)S＝a(12－a)＝－a²＋12a

＝－(a²－12a＋6²）+36＝－(a－6)²＋36．

(2)图象如下：

(3)当a＝6时，S最大＝36．

2、课堂练习P50探究2

解：设销售单价为x元，销售利润为y元，则

y＝(x－20)[400－20(x－30)]

＝－20x²＋1400x－20000

＝－20(x－35)²＋4500．

所以当x＝35元，即销售单价提高5元时，可在半月内获得最大利润4500元．

（通过开放性练习培养学生思维的发散性、开放性。能应用二次函数的相关知识解决简单的实际问题。让学生讨论、交流、叙述，在应用和问题解决中加深对概念的理解。

教师应注意让学生充分发表自己的见解，用鼓励性的语言进行点评。}

（五）、归纳总结，形成模型。

1、本节课经历了探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程，体会了二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受了数学的应用价值．

学会了分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值，提高解决问题的能力．

2、活动与探究

某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40～70元之间．市场调查发现：若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱，价格每降低1元，平均每天多销售3箱，价格每升高1元，平均每天少销售3箱．

(1)写出平均每天销售(y)箱与每箱售价x(元)之间的函数关系式．(注明范围)

(2)求出商场平均每天销售这种牛奶的利润W(元)与每箱牛奶的售价x(元)之间的二次函数关系式(每箱的利润＝售价－进价)．

(3)求出(2)中二次函数图象的顶点坐标，并求当x＝40，70时W的值．在坐标系中画出函数图象的草图．

(4)由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润为多少？

3、作业：P51～52习题2、3题。

（结合具体情景体会二次函数的意义，了解二次函数的概念，体现函数是解决变量间存在单值对应关系的数学模型的思想。）

（六）、教学反思

运用二次函数解决实际问题是难点，需要综合运用二次函数知识，能够很好培养学生分析解决问题的能力。

（加深学生对知识的理解，促进学生对所学知识的反思。巩固、提高、反思，使各层次的学生得到不同的发展。）

教师应关注：（1）学生对本节内容的理解程度。（2）用鼓励的语言进行评价。

     教学案例设计说明：本节课从学生熟悉的问题入手，列出实际生活中的二次函数，引导学生用函数的思想重新认识日常生活中变量间的关系，建立二次函数的基本模型，归纳实际问题的基本做法，引导学生列举生活中的二次函数的问题，进行讨论，并通过例题和习题的学习加深对二次函数概念的理解。在教学活动中，通过组织学生积极参与和教师的有效指导，实现知识能力、过程和方法、情感态度和价值观三维目标的全面落实。