《平方差公式》教学设计

一、内容和内容解析

内容解析:《平方差公式》是在学习了有理数运算、列简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减及整式乘法等知识的基础上，在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例.对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法.

重点：经历探索平方差公式的全过程，并能运用公式进行简单的运算.

难点：利用数形结合的数学思想方法解释平方差公式，灵活运用平方差公式进行计算．

二、教学目标

1、经历平方差公式的探索过程，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力；

2、掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简单的运算；

3、会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法.

三、教学问题诊断分析

学生已熟练掌握了幂的运算和整式乘法，但在进行多项式乘法运算时常常会确定错某些项符号及漏项等问题．学生学习平方差公式的困难在于对公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义学生的理解．因此，教学中引导学生分析公式的结构特征，并运用变式训练揭示公式的本质特征，以加深学生对公式的理解．

四、教学过程设计

（一）创设情境，引出课题

问题１：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？

（1）（x+1）（x-1）=         ；

（2）（m+2）（m-2）=         ；

（3）（2x+5）（2x-5）=         ．

【设计意图】通过对特殊的多项式与多项式相乘的计算，既复习了旧知，又为下面学习平方差公式作了铺垫，让学生感受从一般到特殊的认识规律，引出乘法公式----平方差公式．

（二）探索新知，尝试发现

问题２：依照以上三道题的计算回答下列问题：

     ①式子的左边具有什么共同特征？

     ②它们的结果有什么特征？

     ③能不能用字母表示你的发现？

师生活动：教师提问，学生通过自主探究、合作交流，发现规律，式子左边是两个数的和与这两个数的差的积，右边是这两个数的平方差，并猜想出：．

【设计意图】在学生已掌握的多项乘法法则的基础上,探索具有特殊形式的多项式乘法──平方差公式，这样更加自然、合理．

 

　　（三）数形结合，几何说理

问题3：活动探究：将长为（a+b），宽为（a－b）的长方形，剪下宽为b的长方形条，拼成有空缺的正方形，并请用等式表示你剪拼前后的图形的面积关系．

 　【设计意图】通过学生小组合作，完成剪拼游戏活动,利用这些图形面积的相等关系,进一步从几何角度验证了平方差公式的正确性,渗透了数形结合的思想，让学生体会到代数与几何的内在联系．引导学生学会从多角度、多方面来思考问题．对于任意的a、b，由学生运用多项式乘法计算：，验证了其公式的正确性．

（四）总结归纳，发现新知

问题4：你能用文字语言表示所发现的规律吗？

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．

【设计意图】鼓励学生用自己的语言表述，从而提高学生的语言组织与表达能力．

（五）剖析公式，发现本质

在平方差公式中，其结构特征为：

①左边是两个二项式相乘，其中“a与a”是相同项，“b与-b”是相反项；右边是二项式，相同项与相反项的平方差，即；

②让学生说明以上四个算式中，哪些式子相当于公式中的a和b，明确公式中a和b的广泛含义，归纳得出：a和b可能代表数或式．

【设计意图】通过观察平方差公式，体验公式的简洁性并通过分析公式的本质特征掌握公式．在认清公式的结构特征的基础上，进一步剖析a、b的广泛含义，抓住了概念的核心，使学生在公式的运用中能得心应手，起到事半功倍的效果．

（六）巩固运用，内化新知

问题1.下列各式中,能用平方差公式运算的是(    )

    A.(-a+b)(-a-b)       B.(a-b)(b-a)

    C.(2a-3b)(3a+2b)     D.(a-b)(-b+a)

2.下列多项式相乘,不能用平方差公式计算的是( )

    A.(x-2y)(2y+x)       B.(-x+2y)(-x-2y)

    C.(-2y-x)(x+2y)      D.(-2b-5)(2b-5)

【设计意图】学生经过思考、讨论、交流，进一步熟悉平方差公式的本质特征，掌握运用平方差公式必须具备的条件．巩固平方差公式，进一步体会字母a、b可以是数，也可以是式，加深对字母含义广泛性的理解．

问题6：运用平方差公式计算：

⑴  (3x+2)(3x-2) ;

⑵  (b+2a)(2a-b);

(3) (-x+2y)(-x-2y).

【设计意图】以加深学生对公式的理解，进一步掌握平方差公式的本质特征和运用平方差公式必须具备的条件．

（七）拓展深化，发展思维

问题8：计算：

⑴103 ×97

⑵(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)

（八）挑战极限

运用平方差公式计算：（2+1)(2²+1)(2⁴+1)

你能根据上题计算得出

(2+1)(2²+1)(2⁴+1)(2⁸+1) … (2²ⁿ+1) 的结果吗？

（九）总结概括，自我评价

问题10：这节课你有哪些收获？还有什么困惑？

【设计意图】从知识和情感态度两个方面加以小结，使学生对本节课的知识有一个系统全面的认识．

（十）课后作业

P156习题15.2   1

（1）用平方差公式计算：（－2y-3x）(3x-2y)

（2）填空：(_____－4b)(_____+4b)=9a²－16b²．