课题：二次函数的图像和性质

科目：数学

教学对象：九年级

课时： 第一课时

提供者  卢小芳

钟山县钟山镇城厢中学

一、教学内容分析

（1）函数是初等数学中最基本的概念之一，贯穿于整个初等数学体系之中，也是实际生活中数学建模的重要工具之一.二次函数在初中函数的教学中有重要地位，它不仅是初中代数内容的引申，也是初中数学教学的重点和难点之一,更为高中学习一元二次不等式和圆锥曲线奠定基础。在历届淮安市中考试题中，二次函数都是不可缺少的内容。

（2）二次函数的图像和性质体现了数形结合的数学思想，对学生基本数学思想和素养的形成起推动作用。

（3）二次函数与一元二次方程、不等式等知识的联系，使学生能更好地将所学知识融会

二、教学目标

一、知识技能目标

1.学生会用描点法画出的图象；

2.掌握二次函数的性质。

二、过程方法目标

1.学生类比前面所学的函数图像的画法，用描点法画二次函数的图像；

2.学生经历观察、思考、探索二次函数图象性质的过程，结合解析式特点、图像特点，感知二次函数的性质。

三、情感态度目标

使学生体会数形结合思想， 培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯

三、学习者特征分析

我本期才接手的两个班级，大部分学生数学基础不够扎实，理解能力，运算能力，思维能力等方面都还有所欠缺；学习积极性不高。

针对这种情况，在教学中，我注意面向全体，发挥学生的主体性，引导学生积极地观察问题，分析问题，激发学生的求知欲和学习积极性，指导学生积极思维、主动获取知识，养成良好的学习习惯。并逐步学会独立提出问题、解决问题。引导学生积极开动脑筋，思考问题和解决问题，从而发扬钻研精神、勇于探索创新。

四、教学策略选择与设计

1.探究引导策略：探讨式学习；教师启发引导。

2.自主合作探究式学习策略：互相讨论、交流、合作的课堂氛围。 

五、教学重点及难点

教学重点: 会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，探索二次函数性质

教学难点: 探索二次函数性质

六、教学过程

教师活动

学生活动

设计意图

一、情境引入

一次函数的性质是如何研究的?我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?如果可以，应先研究什么?

教师引导学生回顾：先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质。可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象。

创设问题情境，让学生通过类比学过的知识的研究方法来探究新知识，并激发学生的兴趣。

二、探究新知

㈠抛物线及相关概念

 用描点发法画二次函数y=x²的图象。

解：(1)列表：自变量x可以是任何实数，x的互为相反数的两个值对应的函数值相等，以0为中心，取几个自变量的整数值，并求出y值

(2)用表里x、y对应值作为点的横纵坐标，在坐标平面中描点

(3)连线：用平滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=x²的图象，如图所示。

提问：观察这个函数的图象，它有什么特点?

像投篮球或掷铅球时球在空中所经过的路线，只是开口向上，这样的曲线叫做抛物线。实际上，二次函数的图像都是抛物线，它们的开口向上或向下。二次函数的图像叫做抛物线。

顶点：抛物线与它的对称轴的交点，是抛物线的最高点或最低点。

㈡探索性质

1．在同一直角坐标系中，画出函数y=x²与y=-x²的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别?

2．在同一直角坐标系中，画出函数y=2x²与y=-2x²的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么?

3．将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么?

 ㈢归纳概括

由具体函数y＝x²、y=-x²、y＝2x²、y=-2x²的图象的共同特点，猜想： 函数y=ax²的图象是一条________，它关于______对称，它的顶点坐标是______。越大，抛物线的开口越小。

问题： 如果要更细致地研究函数y=ax²图象的特点和性质，应如何分类？为什么?

当a>0时，抛物线y=ax²开口______，在对称轴的左边，曲线自左向右______；在对称轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最低的点。

当a<0时，抛物线y＝ax²有些什么特点? 

抛物线与有怎样的关系？

教师让学生观察，思考、讨论、交流，图像特点归结为：它是轴对称图形，有一条对称轴y轴，且对称轴和图象有一点交点。

学生初步感知二次函数的图像是一条抛物线

学生画图，并观察、比较。教师指导感觉困难的学生，引导学生思考选几个点比较合适以及如何选点。让学生发表不同的意见，达成共识。

将发现的结论进行小组交流，得出结论：四个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，顶点坐标都是(0，0)．

教师提出问题，学生思考，回答

教师让学生动手画图，教师巡视指导，点评，师生交流。

让学生经历猜想、画图、观察、归纳总结出二次函数y=x²的图像，感受知识的发生发展过程，便于对新知识的理解和认识。

通过让学生自己动手画图，加深对二次函数图像的认识和理解，同时培养学生规范作图的习惯。

增强学生观察分析、归纳概括能力和表达能力，经历由感性认识到理性认识的思维过程。

三、课堂训练

1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图像，并分别写出它们的开口方向、对称轴、顶点坐标：

；；

2.抛物线的开口方向      ，对称轴是       ，顶点坐标是        ；抛物线的开口方向      ，对称轴是       ，顶点坐标是        。

3.已知等边三角形的边长是2x，请将此三角形的面积S表示成x的函数，并画出此函数的图像。

教师引导学生分析思考第3题，是实际问题，自变量的取值范围是正数，图像是抛物线的局部

学生谈本节课的收获和学习体会，并进行质疑，师生交流归纳，解惑。

及时巩固本节所学知识，了解学生学习效果，培养学生独立解题能力。

四、小结归纳

1．如何画出函数y=ax²的图象?

2．函数y＝ax²具有哪些性质?

3．抛物线与的关系

五、作业设计

必做题：教材32页练习

学生谈本节课的收获和学习体会，并进行质疑，师生交流归纳，解惑。

总结学习的重点知识，帮助学生归纳，巩固新知识

根据学生学习的不同层次安排相应作业，从而使学生有不同层次的认识和提高。

七、教学评价设计

合作能力

1、小组有计划，有分工，但不明确。

2、小组汇报的探究结果主要是由一两位同学完成的。汇报内容具体，研究方法科学，有一定的学习价值。

3、小组内有个别同学没有积极参与探讨。

思维能力

能类比一元一次方程的概念和解法、理解一元二次方程的有关概念及解二次方程的关键——降次，能用配方法推导出求根公式，掌握解一元二次方程的三种方法，能把实际问题转化成数学模型。

动手操作能力

能够通过观察、分析、操作、交流、研讨等探讨出周长相等时哪种图形面积最大。

八、板书设计

 课题  22.1  二次函数 y=ax²的图像和性质

二次函数 y=ax² 的性质                                                                                                      

开口方向：  当a>0，开口向上；当a<0时，开口向下

对称轴：   y轴

     顶点：    （0，0）

九．教学反思

从课本的体系来看，这节课明显是要让学生明白什么是二次函数，能区别二次函数与其他函数的不同，能深刻理解二次函数的一般形式，并能初步理解实际问题中对定义域的限制。

这节课，我对教材进行了探究性重组，同时放手让学生在探究活动中去经历、体验、内化知识的做法是成功的。通过充分的过程探究，学生容易得出也是最早得出了图象的性质，借助直观图象的性质而得到二次函数的性质。所以，在以后的教学中要设计适合学生探究的素材。教材对二次函数的性质是从增减来描述的，我认为这种对性质的表述是教条化的，学生不容易接受。当然教材强调所呈现内容的逻辑性、严密性与科学性是合理的。但是能让学生理解和接受的知识才是最重要的。如果牵强的引出来，不一定是好事。我觉得要想提高自己的教学水平，就要及时反思自己教学中存在的不足，在每一节课前充分预想到课堂的每一个细节，想好对应的措施，不断提高自己的教学水平。

对于练习的设计，仍然采取了不重复的原则性，尽量做到每题针对一个问题，并进行及时的小结，也遵循了从开放到封闭的原则，达到了良好的效果。