12.1　幂的运算

1.同底数幂的乘法

【教学目标】

知识与技能

1.巩固同底数幂的乘法法则,学生能灵活地运用法则进行计算.

2.了解同底数幂乘法运算性质,并能解决一些实际问题.

3.能根据同底数幂的乘法性质进行运算.

过程与方法

1.经历探索同底数幂的乘法运算的过程,进一步体会幂的意义,提高学生推理能力和有条理的表达能力.

2.在了解同底数幂的乘法运算意义的基础上,“发现”同底数幂的乘法性质,培养学生观察、概括和抽象的能力.

3.能用字母式子和文字语言表达这一性质,知道它适用于三个和三个以上的同底数幂相乘.

情感、态度与价值观

在推导“性质”的过程中,培养学生观察、概括与抽象的能力.

【重点难点】

重点

熟悉同底数幂的乘法性质、幂的意义和乘法运算律等内容.

难点

区别幂的意义与乘法的意义,培养学生的推理能力和有条理的表达能力.

【教学过程】

一、创设情境,导入新课

【情景导入】

“盘古开天辟地”的故事:公元前一百万年,没有天没有地,整个宇宙是混浊的一团,突然间窜出来一个巨人,他的名字叫盘古,他手握一把巨斧,用力一劈,把混沌的宇宙劈成两半,上面是天,下面是地,从此宇宙有了天地之分,盘古完成了这样一个壮举,累死了,他的左眼变成了太阳,右眼变成了月亮,毛发变成了森林和草原,骨头变成了高山和高原,肌肉变成了平原与谷地,血液变成了河流.

【教师提问】

盘古的左眼变成了太阳,那么,太阳离我们多远呢?你可以计算一下,太阳到地球的距离是多少?

光的速度为3×10⁵千米/秒,太阳光照射到地球大约需要5×10²秒,你能计算出地球距离太阳大约有多远呢?

【学生活动】

开始动笔计算,大部分学生可以列出算式:3×10⁵×5×10²=15×10⁵×10²=15×?(引入课题)

二、师生互动,探究新知

同底数幂的乘法法则.

【教师提问】

到底10⁵×10²=?同学们根据幂的意义自己推导一下,现在分四人小组讨论.

【学生活动】

分四人小组讨论、交流,举手发言,上台演示.

计算过程:10⁵×10²=(10×10×10×10×10)×(10×10)=10×10×10×10×10×10×10=10⁷.

【教师活动】

下面引例.

请同学们计算并探索规律.

(1)2³×2⁴=(2×2×2)×(2×2×2×2)=2^(　　);

(2)5³×5⁴=　　　　=5^(　　); 

(3)(-3)⁷×(-3)⁶=　　　　=(-3)^(　　); 

(4)()³×()=　　　　()^(　　); 

(5)a³·a⁴=　　　　a^(　　). 

提出问题:①这几道题目有什么共同特点?②请同学们看一看自己的计算结果,想一想,这些结果有什么规律?

【学生活动】

独立完成,并在黑板上演算.

【教师总结】

a^m·aⁿ=·==a^m+n

从而得出同底数幂的乘法法则a^m·aⁿ=a^m+n(m、n为正整数)即同底数幂相乘,底数不变指数相加.

【教学说明】

通过以上5个计算,让学生根据乘方的意义从特殊到一般探索同底数幂的乘法法则,水到渠成.

三、随堂练习,巩固新知

1.基础练习

(1)下面的计算是否正确?如果错,请在旁边纠正:

①a³·a⁴=a¹²　　　　　②m·m⁴=m⁴

③a³+a³=a⁶   ④x⁵+x⁵=2x¹⁰

⑤3c⁴·2c²=5c⁶   ⑥x²·xⁿ=x²ⁿ

⑦2^m·2ⁿ=2^m·n ⑧b⁴·b⁴·b⁴=3b⁴

(2)计算:

①7⁸×7³;②()⁵×()⁷;③x³·x⁵·x²;

④a¹²·a;⑤y⁴·y³·y²·y;⑥x⁵·x⁵.

2.能力提高

(1)计算:

①(x+y)³·(x+y)⁴;②(a-b)(b-a)³;

③xⁿ·xⁿ⁺¹+x²ⁿ·x(n是正整数)

(2)填空:

①x⁵·(　　)=x⁸;②a·(　　)=a⁶;

③x·x³(　　)=x⁷;④x^m·(　　)=x^3m;

⑤x⁵·x^(　　)=x³·x⁷=x^(　　)·x⁶=x·x^(　　);

⑥aⁿ⁺¹·a^(　　)=a²ⁿ⁺¹=a·a^(　　).

(3)填空:

①8=2^x,则x=　　　　; 

②8×4=2^x,则x=　　　　; 

③3×27×9=3^x,则x=　　　　; 

④已知a^m=2,aⁿ=3,求a^m+n的值;

⑤b²·b^m-2+b·b^m-1-b³·b^m-5b².

四、典例精析,拓展新知

【例】

如果x^m-n·x²ⁿ⁺¹=x¹¹,且y^m-1·y^4-n=y⁵,求m,n的值.

【分析】

根据同底数幂的乘法法则得:(m-n)+(2n+1)=11,(m-1)+(4-n)=5,用方程组解决.

【教学说明】

教师提问:由两个等式我们想到了什么知识?如何建立m与n之间的等量关系?教师深入强化数学中的转化思想.

五、运用新知,深化理解

1.a·a²·a³=　　　　. 

2.(x-y)³·(x-y)²·(y-x)=　　　　. 

3.(-x)⁴·x⁷·(-x)³=　　　 

4.已知3^a+b·3^a-b=9.则a=　　　　. 

【教学说明】

注意同底数幂乘法可以推广到多个因式相乘,遇到形如(-a)⁶·a⁹转化为a⁶·a⁹.

六、师生互动,课堂小结

这节课你学习到什么?有什么收获?有何疑问与困惑与同伴交流,在学生交流发言的基础上教师归纳总结.

1.同底数幂的乘法,使用范围是两个幂的底数相同,且是相乘关系,使用方法:在乘积中,幂的底数不变,指数相加.

2.同底数幂乘法可以拓展,例如,对含有三个或三个以上的同底数幂,仍成立.底数和指数,它既可取一个或几个具体数,也可取单项式或多项式.

3.幂的乘法运算性质注意不能与整式的加减混淆.

【教学反思】

本节课从故事引入为学生在探究同底数幂乘法法则激发动机,探究同底数幂乘法法则时,注意用乘方的意义让学生自己发现归纳.始终遵循从特殊到一般的认知规律.在同底数幂乘法法则的运用中,不断渗透转化与方程的数学思想.