提高高中学生的数学运算能力与发散思维解题能力的方法

数学科考试着重考查思维能力、运算能力、空间想象能力、实践能力和创新意识，以能力立意命题，突出能力考查。从近几年高考试题对学生的要求来看，不仅要求学生学会用学过的法则、定理、公式正确的进行运算，而且会剖析问题的条件和结论之间的内在联系，以及运用所学过的数学概念、方法，寻求合理、简捷的运算途径，更迅速、准确地解决问题。因此，运算能力是数学的一项基本的重要能力。

 发散思维又叫求异思维，它是一种从同一来源材料探求不同的答案的思维过程和方法。它着眼于研究未知的事物，促使学生在实践中不断认识所学知识的内在联系，打破思维“定势”，从而达到拓宽视野，开发智力，启迪创造性思维的目的。也就是说，发散思维是不按常规，寻求变异，从多方面、多途径寻找解决问题办法的思维方式。它是创造性思维不可缺少的成份，体现了一种创造精神对于培养“创造型”人才是极其重要的。发散思维具有流畅性、变通性和独特性三种基本特征。

   一、 一题多解，培养学生发散思维的流畅性

     一道题几种解法，思路虽然各不相同，但最后都得到同一答案，这样通过多途径解题，既可以使学生所掌握的知识进一步巩固和扩大，又可以提高学生的想象力，培养学生的解题技巧能力，进而培养了学生的发散思维能力。通过一题多解，既可以训练学生的求同思维，又可以训练学生的求异思维，进而可以验证答案的正确性。

    二、一题多变，培养学生发散思维的变通性

      在高中数学教学中，特别是搞好课本例题的变式教学，不仅能加深基础知识的理解和掌握，更重要的是在开发学生智力，培养和提高学生的数学素质。改变问题的条件，在变异的内容和能力的要求上，由浅入深，从简单到复杂，而在问题的外貌特征和内在结构上却要相切。

例  已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任一点P向x轴作垂线段PP1，求线段PP1中点M的轨迹。

可将此题变为：
　　变式1：已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任一点P向y轴作垂线段PP1，求线段PP1中点M的轨迹。
　　变式2：已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任一点P向坐标轴作垂线段PP1，求线段PP1中点M的轨迹。
　　变式3：已知一个椭圆的方程为 ，从这个椭圆上任一点P向x轴作垂线段PP1，求线段PP1中点M的轨迹。
　　变式4：已知一个椭圆的方程为 ，从这个椭圆上任一点P向y轴作垂线段PP1，求线段PP1中点M的轨迹。

从以上例题及其变形来看，发散思维的变通性是灵活的，通过一题多变，可以提高学生学习数学的兴趣，调动他们思维的积极性，不仅为训练发散思维打下基础，而且增强了他们分析问题和解决问题的能力，进而培养了思维的变通性，达到举不反三、触类旁通的效果。

三、一题多思，培养学生发散思维的独特性

发散思维的独特性是发散思维“质”的标志，通过一题多思，在掌握书本知识的基础上，大胆创新，不受前人的“陈观旧律”束缚，敢于“标新立异”，对问题提出自己的新看法，新见解，寻求与众不同的解题捷径。

  从以上我们可以得知，用发散思维的三个特性来进行教学，既可以起到训练学生思维的作用，又可以使学生从多方面、多角度、多层次地认识问题，寻找简易快捷的方法，找出答案，从而起到举一反三，触类旁通的效果，进而把数学学得更好。

在高中数学学习中随着学习内容的加深，运算的层次也不断提高，高中生在运算中暴露的问题也越来越多。学生对提高运算能力缺乏足够的重视，这样不仅影响了学生思维能力的发展，也必然影响教学质量的提高。在教学中，通过案例分析发现，运算失误的成因至少有三个方面的因素：一是书写失误。比如数与式运算的符号和系数、字迹潦草马虎，、神情“恍惚”时看错抄错等；二是公式、定理、定义、法则记忆不准确、理解不深入、运用不灵活。比如函数的性质、对数运算法则、三角的和差倍半公式、向量的乘积及几何意义、圆锥曲线的性质、二项式定理、概率的几种类别判断、导数的运算法则等。三是解题的思维训练不到位与过程控制不严格。

注重学习过程，提高运算能力。准确理解和牢固掌握各种运算所需的概念、性质、公式、法则和一些常用数据；对于概念、性质、公式、法则的理解深刻的程度直接影响方法的选择与运算速度的快慢。概念模糊，公式、法则含混，必定影响运算的准确性。为了提高运算的速度，熟记一些常用的数据仍是必要的。养成验算的习惯，掌握验算方法 在进行题目求解的运算的过程中或结束时还须对运算的过程和结果进行检验，以便及时纠正运算过程或结果中出现的错误，并掌握验算方法。检验的方法通常有：还原法、代值法、估值法、逆运算等养成检验、检查的习惯，提高运算过程的思维监控能力，这是形成和发展运算能力的具体要求之一，在学习中不容忽略。

学会反思，提高运算的准确性善于反思的学生，能不断地矫正错误，科学地设计运算的过程，并提高运算的准确度，逐步养成良好的运算习惯。对计算的结果进行反思，不仅是检验结果正确与否，更重要的是考察结果是否合理，是否符合实际。