提高高中学生的数学运算能力与发散思维解题能力的方法

作为新课标理念指导下的数学教师，我们不仅需要了解和研究随着时代的发展，数学运算教学中的基础知识和技能发生了哪些变化，了解目前高中生数学计算能力的真正水平，从而因材施教，更要切实提高学生的数学运算能力，为他们现在和未来的数学学习、其他学科的学习以及今后的发展打好基础，进而全面提高数学教学质量。

高中学生的数学思维的形成是建立在对高中数学基本概念、定理、公式理解的基础上的，发展高中学生数学思维最有效的方法是通过分析和解决问题来实现的。因此，数学解题能力的培养是一项长期而艰巨的工程，在实际的教学中一方面要注重通过案例教学逐渐培养学生的思维能力，例如“数形”结合的能力、“函数与方程”的思维能力、 “转化化归”的思维能力。另一方面要通过习题训练学生的运算能力，结合高中生的认知特点，循序渐进的培养其数学解题能力。

一、重视例题，强化例题示范性

学生解题能力的培养首先是模仿。学习初期，模仿例题尤为重要。例题往往具有一定的代表性，在解题的过程中又渗透有解题的常规思路和格式的规范性等问题。数学解题过程要求有严谨的逻辑性和科学的规范性，例题往往具有示范性的作用，学生可以通过例题感受解题过程中的运算、推导、论证、作图等，体会解题中的每一步骤都要有充分的理由，遵循严格的思维规律，合乎逻辑性、严谨性。因此在教学中注重例题的作用很必要，可以让学生在典型例题中感受解题的思想和积累解题的经验。

例、已知a,b,c为不等的正数，且abc = 1.求证 +<

【解析】∵a, b, c是不等的正数,且abc = 1

      ∴  a =, ∴+ 

=

                  =  

本题要求准确理解数学公式，深刻领悟数学公式2 (a , b是不等的正实数) 及其变形 (a , b是不等的正实数)  ，其次要求正确利用题给条件abc =1及其变形形式。

二、明确解题思路，制订解题计划

审题能力的高低，直接影响到解题的成败。很多错解误解都是因为对题意没有弄清楚。因此，审题的基本要求就主要是弄清题目的两个组成部分：条件和结论。要分析已知和未知的关系，构建已知与未知的桥梁，合理联想，能否转化化归，分析隐蔽条件，用发散的思维得到更多的隐含的信息为己所用。经过深入思考之后，找一找从条件到结论缺少些什么？可以画出关联的草图并把条件与目标标在图上，找出它们的内在联系。例如，在解答综合问题的过程中，从探求思路，到解题方法的优化，直到反思验证结论，都要以各种数学方法来解答，比如常用的数学方法有：转化方法、数形结合方法、分类讨论方法、归纳猜想方法等。

能根据问题的需要灵活自如地变换运算的方法.

 例、已知实数x, y满足方程x² + y² – 4x+1=0.                                      

⑴求的最大值和最小值.                      

⑵求y -x的最小值.                                                                                                     

⑶求x²+y²的最大值和最小值                                                     

【解析】⑴方程x² + y² – 4x+1=0.表示以点（2，0）为圆心，以为半径的圆。                                                                

=k,即 y = kx,由圆心（2，0）到直线 y = kx  y                                                                    

  的距离为半径时直线与圆相切，                      P                

  斜率取得最大值、最小值。                 O            c        x                                                       

  由点到直线的距离公式得

    解得k² =3

所以   k_max=       ,k_min= -。

⑵设y – x = b ,则 y = x + b , 仅当直线y = x + b与圆切于第四象限时，纵轴截距b取得最小值。由点到直线的距离公式，得   即

故 (y –x )_min = -2 -。

⑶ x² + y²  是圆上点与原点距离的平方，故连接oc，与圆交于B点，本延长交圆于D，

则  ( x² + y² )_{max =}

    ( x² + y² )_{min =}

  本题设变量代入，灵活变形；充分运用数形结合的思想方法，解决了问题。

三、强化训练，提高计算能力

加强练习是提高计算能力的有效途径，任何能力都是有计划、有目的地训练出来的，提高计算能力也必须加强练习、严格训练。加强训练就是要按照规律进行多练、巧练、反复练。特别是运算的准确性，不是靠认真就能提高的，只能依靠刻苦的训练才能实现。有的学生认为平时运算出错不是大问题，考试时注意就行了，这是大错而特错的，必须认真对待，同时，教师在教学时涉及到计算时，要指导学生自己算，而不是帮学生算出答案。在培养高中生的数学解题能力的同时，还要不断的加大力度，使其解题能力得到逐步的提升。

例 设函数f (x) =+lg 

 ⑴试判断函数f (x)的单调性，并给出证明；

⑵若函数f (x)的反函数为f ^-1(x)，证明方程f ^-1(x) =0有唯一解。

【解析】⑴设u = = -1 +, 由lg可知 

 得＞ 0    解之得   - 1＜ x ＜ 1.

设 – 1 ＜x₁ ＜x₂ ＜ 1

U₁ –u₂ =  -1 + -( -1 +)  = - =2

– 1 ＜x₁ ＜x₂ ＜ 1   ∴ ＞ 0

∴  U₁  ＞ u_{2  ，} 故u = 在（ -1,1）上减函数；

而  lg的单调性与 单调性相同，故lg在（-1，1）上减函数。

显然   v = 是减函数，∴ f(x)在（-1，1）是减函数。

⑵ 根据原函数f(x)与反函数f ^-1(x)的关系可知，f ^-1(x)与f(x)单调性相同。

    方程f ^-1(x) =0 的唯一解为 x = 。

教师的能力不等于学生的能力，作为教师要引导好学生。这就要求教师下更大的功夫，做更细致的工作，根据教学实际，坚持有目的、有计划地进行培养和训练学生，同时，作为高中生要善于观察、思考、总结。只有这样，才能真正有效提高高中生的数学解题能力。